WisFaq!

Deelexamen 3 Coördinaten van P

Bij deze vraag bij c. loop ik vast om aan te tonen dat V met l een onafhankelijk stelsel vormt.

De coordinaten van P heb ik fout bij e.
Er moet uitkomen P(-12,-14,-28) of P(16,14,28).

Tevens heb ik mijn hoek van V met het YOZ vlak bij f. fout.

Ik hoop dat u me kunt verbeteren ik heb mijn uitwerking opgestuurd.

Gegeven:

Lijn l:(2,0,0)+l(1,1,2)
Vlak V:(1,1,1)+a(1,2,1)+b(-1,1,1)
Op l bevindt zich een punt P zodat d(P,V)=5√14.

1. De vergelijking van V is x-2y+3z-2=0. Toon dit aan.
2. Bereken de coördinaten van het snijpunt van V en l.
3. Toon aan dat de richtingsvector van l met de richtingsvectoren van V een onafhankelijk stelsel vormt.
4. Bereken de hoek tussen l en V.
5. Bereken de coördinaten van P.
6. Bereken de hoek tussen V en het YOZ vlak.

mboudd
13-5-2020

Antwoord

c.
Het idee is goed. Je moet laten zien dat als:

$
\lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
1 \\
2 \\
\end{array}} \right) + \mu \left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
2 \\
1 \\
\end{array}} \right) + \rho \left( {\begin{array}{*{20}c}
{ - 1} \\
1 \\
1 \\
\end{array}} \right) = 0
$

dan volgt:

$
\left\{ \begin{array}{l}
\lambda = 0 \\
\mu = 0 \\
\rho = 0 \\
\end{array} \right.
$

Dat moet kunnen:

$
\begin{array}{l}
\lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
1 \\
2 \\
\end{array}} \right) + \mu \left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
2 \\
1 \\
\end{array}} \right) + \rho \left( {\begin{array}{*{20}c}
{ - 1} \\
1 \\
1 \\
\end{array}} \right) = 0 \\
\left\{ \begin{array}{l}
\lambda + \mu - \rho = 0 \\
\lambda + 2\mu + \rho = 0 \\
2\lambda + \mu + \rho = 0 \\
\end{array} \right. \\
(1) + (2) \\
\left\{ \begin{array}{l}
2\lambda + 3\mu = 0 \\
\lambda + 2\mu + \rho = 0 \\
2\lambda + \mu + \rho = 0 \\
\end{array} \right. \\
(2) - (3) \\
\left\{ \begin{array}{l}
2\lambda + 3\mu = 0 \\
- \lambda + \mu = 0 \\
2\lambda + \mu + \rho = 0 \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
2\lambda + 3\mu = 0 \\
\lambda = \mu \\
2\lambda + \mu + \rho = 0 \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
2\lambda + 3\lambda = 0 \\
\lambda = \mu \\
2\lambda + \mu + \rho = 0 \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
5\lambda = 0 \\
\lambda = \mu \\
2\lambda + \mu + \rho = 0 \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
\lambda = 0 \\
\mu = 0 \\
\rho = 0 \\
\end{array} \right. \\
\end{array}
$

e.
Bij e. veeg je de absoluutstrepen onder het tapijt. Verder lijkt het aardig te kloppen. Je krijgt:

$
\begin{array}{l}
l:\left( {\begin{array}{*{20}c}
2 \\
0 \\
0 \\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
1 \\
2 \\
\end{array}} \right) \\
{\rm{P}}\,\,\,{\rm{op}}\,\,\,{\rm{l}}\,\,\,{\rm{zodat}}\,\,\,{\rm{d(V}}{\rm{,P) = 5}}\sqrt {{\rm{14}}} \\
d\left( {V,P} \right) = \frac{{\left| {2 + \lambda - 2\lambda + 6\lambda - 2} \right|}}{{\sqrt {1^2 + ( - 2)^2 + 3^2 } }} = 5\sqrt {14} \\
d\left( {V,P} \right) = \frac{{\left| {5\lambda } \right|}}{{\sqrt {14} }} = 5\sqrt {14} \\
\left| {5\lambda } \right| = 70 \\
5\lambda = - 70 \vee 5\lambda = 70 \\
\lambda = - 14 \vee \lambda = 14 \\
P\left( { - 12, - 14, - 28} \right)\,\,\,of\,\,\,P(16,14,28) \\
\end{array}
$

f.
Bij f. heb je niet de normaalvector van het YOZ-vlak genomen. Als je dat wel doet dan zou je dit moeten krijgen:

$
\begin{array}{l}
n_{yoz} = \left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
0 \\
0 \\
\end{array}} \right)\,\,\,en\,\,\,n_V = \left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
{ - 2} \\
3 \\
\end{array}} \right) \\
\cos \phi = \frac{{\left| {\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
0 \\
0 \\
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
{ - 2} \\
3 \\
\end{array}} \right)} \right|}}{{\left| {\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
0 \\
0 \\
\end{array}} \right)} \right| \cdot \left| {\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
{ - 2} \\
3 \\
\end{array}} \right)} \right|}} = \frac{1}{{\sqrt {14} }} = \frac{1}{{14}}\sqrt {14} \\
\phi \approx 0,41\pi \\
\end{array}
$

Het valt dus allemaal reuze mee.

WvR
14-5-2020