WisFaq!

Continuïteit

Gegeven f(x)=(x³-27)/(x²-9)

1. Voor welke waarde(n) van x is f discontinue?
   Ik had voor x=3 en x=-3 omdat deze niet bestaat.
2. Is(zijn) de dicontinuiteit(en) ophefbaar?
   Zo ja, hoe ?
   Zo nee, waarom niet ?
   Ik zie wel dat de discontinuïteit ophefbaar is omdat je 0/0 hebt maar hoe schrijf je dit op?

In het model staat voor x=-3 niet lim van x naar -3 f(x) bestaat niet, definieer f(3)=4,5.

Ik zie wel dat lim x naar -3 niet kan bestaan omdat je dan door 0 deelt maar de rest van het antwoord snap ik niet.

mboudd
8-5-2020

Antwoord

Strikt genomen heeft de functie geen discontinuiteiten: als een functie in een punt niet gedefinieerd is heeft het geen zin de continutitetit daar te onderzoeken, want continu in $a$ betekent
$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)
$$dus $f(a)$ moet al bestaan.

Wat in je opgave een ophefbare discontinuiteit wordt genoemd heet tegenwoordig wel een perforatie: de limiet bestaat wel maar de functiewaarde niet, waardoor er een `gat' in de grafiek zit. Dat gebeurd vaak in een `$0/0$-situatie' maar dat is niet genoeg.
Hier geldt dat $f$ in $3$ en $-3$ geen functiewaarden heeft maar als je $x$ ongelijk aan $3$ en $-3$ neemt kun je schrijven
$$f(x)=\frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x-3)(x+3)}=\frac{x^2+3x+9}{x+3}
$$Dan zie je dat $\lim_{x\to3}f(x)$ toch bestaat en gelijk is aan $\frac{27}{6}$ (vandaar de $4.5$).
In $-3$ heeft de grafiek van $f$ een verticale asymptoot, dus $\lim_{x\to-3}f(x)$ bestaat niet.

kphart
8-5-2020