WisFaq!

Re: Re: Re: Een combinatorische vraag

Ik bedoelde idd P₀(x) met P(0) en ik zie dat het niet klopt, maar als ik n en k om zou wisselen zou het niet in een polynoomvorm passen. Blijkbaar zit er bij zo'n polynoom een bepaalde randvoorwaarde ingebouwd, en deze paste in dit geval niet bij de recursieve forumle.

Ik heb wel een ander idee, maar ik kan het lastig uitleggen zonder forumules. Maar de basis is: m keer partiele integratie toepassen op de k-de afgelde van Γ(n+1). Dat komt in mijn geval uit op de de integraal van x = 0 tot x = oneindig van exp(-x)d^m(xⁿ(ln(x)^k). En met d^m(xⁿ(ln(x)^k) bedoel is de m-de afgeleide van xⁿ(ln(x)^k keer dx.

Na wat te rekenen lijkt dit een polynoom in machten van ln(x) te zijn, die is vermenigvuldigd met x^n-m, en nu is daar weer een divariable recursie uit te krijgen ( met de coefficenten van de polynoom ). En daarna is het volgensmij weer in een polynoom te gieten. Vervolgens kan je P_m(x) uit de recursie bepalen ( en daarmee de coefficenten ). Maar blijkbaar ging dit bij mij steeds mis, hoe moet het dan wel?

Groeten Jan

Jan
30-4-2020

Antwoord

Ik zou zelf `laag voor laag' werken: je hebt $A(n,0)=n!$.
Dan eerst maar eens de recursie
$$A(n,1) = n\cdot A(n-1,1) +1\cdot A(n-1,0)
$$oplossen, ofwel
$$a_n = n\cdot a_{n-1} + (n-1)!
$$daar zul je zien dat het al minder eenvoudig is dan je misschien denkt.

Met die oplossing kun je dan aan
$$A(n,2) = n\cdot A(n-1,2) +2\cdot A(n-1,1)
$$beginnen.

Daarbij zijn de startwaarden $A(0,1)$ en $A(0,2)$ natuurlijk in lastige integralen verstopt.

kphart
1-5-2020