WisFaq!

Re: Een combinatorische vraag

Sorry voor de onduidelijkheid, met n! bedoel ik Γ(n+1) en als je dan de integraaldefinitie van de functie k keer door de integraal heen naar n differentiëerd krijg je de functie integraal van 0 naar oneindig van xⁿ(ln(x))^k exp(-x). En daar komt de expressie A(n,k) vandaan, A(n,k) is die integraal, en met partiele integratie krijg ik dan de recursieformule ( A(n,k) = nA(n-1,k)+ kA(n-1,k-1)). En de P(n) moet u zich voorstellen als een sommatie van k = 0 tot en met k = n met A(n,k)x^k in de sommatie. Is het nu duidelijk? En ik snap uw laatste stukje niet , waar heeft dat betrekking op?

groeten Jan

Jan
29-4-2020

Antwoord

Ik dacht dat je met `integraal' de primitieve bedoelde; en de primitieve van de $k$-de afgeleide is de $(k-1)$de afgeleide.
Je recursieve formule is goed, maar je moet uiteindelijk voor elke $k$ de waarde $A(0,k)$ bepalen,
$$\int_0^\infty (\ln x)^k\cdot\exp(-x)\,\mathrm{d}x
$$dus. Ik heb die door Maple voor een paar $k$ laten bepalen maar ik zag geen regelmaat.
Je aanpak met het polynoom is maar voor de helft goed want je krijgt er alleen de waarden $A(n,k)$ met $k\le n$ mee, De waarden hierboven, de $A(0,k)$ dus, vind je zo niet.

kphart
29-4-2020