WisFaq!

Examenvraag 84-85

Ik kom niet uit de volgende vraag het snijpunt is (2,2,2)

Gegeven is het vlak V met vergelijking x+y+z=6

• Bereken de coördinaten van het snijpunt van vlak V met de lijn door O die loodrecht op V staat.

Wat ik heb geprobeerd: n=(1,1,1) dan is de lijn loodrecht hier op (-1,1,0). Een vectorvoorstelling van V is (2,2,2)+l(1,0,-1)+m(1,-1,0)

Als ik dit aan de lijn gelijk stel zie ik wel die (2,2,2) maar kan dat niet netjes uitwerken.

mboudd
27-4-2020

Antwoord

De lijn loodrecht op $V$ door $O$ heeft als vectorvoorstelling:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}} \right) = \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
1 \\
1 \\
\end{array}} \right)
$

Snijden met $x+y+z=6$ geeft:

$
\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 6 \\
\left( {\begin{array}{*{20}c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}} \right) = \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
1 \\
1 \\
\end{array}} \right) \\
\end{array} \right. \\
\lambda + \lambda + \lambda = 6 \\
\lambda = 2 \\
S(2,2,2) \\
\end{array}
$

Je hebt de vectorvoorstelling van $V$ niet nodig.

Naschrift
Maar als je 't zou willen zou het natuurlijk wel kunnen:

$
\begin{array}{l}
x + y + z = 6 \\
Kies\,\,x = \lambda \,\,\,en\,\,y = \mu \\
\left\{ \begin{array}{l}
x = \lambda \\
y = \mu \\
z = 6 - \lambda - \mu \\
\end{array} \right. \\
\left( {\begin{array}{*{20}c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
\lambda \\
\mu \\
{6 - \lambda - \mu } \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
0 \\
6 \\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
0 \\
{ - 1} \\
\end{array}} \right) + \mu \left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
1 \\
{ - 1} \\
\end{array}} \right) \\
l:\left( {\begin{array}{*{20}c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}} \right) = \rho \left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
1 \\
1 \\
\end{array}} \right) \\
\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
0 \\
6 \\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
0 \\
{ - 1} \\
\end{array}} \right) + \mu \left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
1 \\
{ - 1} \\
\end{array}} \right) = \rho \left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
1 \\
1 \\
\end{array}} \right) \\
\left\{ \begin{array}{l}
\lambda = \rho \\
\mu = \rho \\
6 - \lambda - \mu = \rho \\
\end{array} \right. \\
(1) + (2) + (3) \\
6 = 3\rho \\
\rho = 2 \\
S(2,2,2) \\
\end{array}
$

Maar de eerste manier is handiger.

WvR
27-4-2020