WisFaq!

Volume integraal

Ik heb een vraag over de integraal:

$\int{}$dx$\int{}$dz$\int{}$^sin(ln(y))z/_{x²(y-1)(e-y)}

De grenzen zijn: 1 tot e, 1 tot √e en x tot z², respectievelijk.

Ik zie niet hoe ik deze functie moet primitiveren aangezien het mij niet met partieel of substitutie methodes lukt.

Alvast bedankt voor de hulp,
Bram

Bram
19-4-2020

Antwoord

Een van de dingen die hier waarschijnlijk werkt is veranderen van integratievolgorde. Ik heb mijn twijfels over de gedaante van de integraal; ik lees hem als volgt
$$\int_1^e\int_1^{\sqrt e}\int_x^{z^2} \frac{\sin(\ln y)\cdot z}{x^2(y-1)(e-y)} \mathrm{d}y\mathrm{d}z\mathrm{d}x
$$Hier heb je aan de buitenkant de rechthoek gegeven door $1\le x\le e$ en $1\le z\le\sqrt e$, maar daarbinnen kan $x$ zowel kleiner als groter dan $\sqrt z$ zijn en dan zou je de integraal over twee deelgebieden apart moeten berekenen.

Als je als extra eis meeneemt dat $x\le z^2$ moet gelden kun je de integraal makkelijk berekenbaar maken
Van $1\le x\le e$, $\sqrt x\le z\le\sqrt e$, en $x\le y\le z^2$ kunnen we door volgorde veranderen maken: $1\le y\le e$, $1\le x\le y$, en $\sqrt y\le z\le\sqrt e$, de integraal wordt dan
$$\int_1^e\int_1^y\int_{\sqrt y}^{\sqrt e} \frac{\sin(\ln y)}{(1-y)(y-e)}\cdot \frac1{x^2}\cdot z\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
$$de integralen naar $x$ en $z$ zijn makkelijk: $\int_{\sqrt y}^{\sqrt e} z\,\mathrm{d}z=\frac 12(e-y)$, en $\int_1^y\frac1{x^2}\,\mathrm{d}x=1-\frac1y=\frac{1-y}y$.
Dan blijft
$$\int_1^e\frac12\frac1y\sin(\ln y)\,\mathrm{d}y
$$over, en die is nu makkelijk te doen.

kphart
19-4-2020