WisFaq!

Minimale afstand van een punt

Ik snap niet hoe ze aan het antwoord (3,3,3) komen. Bij de volgende vraag die ik zelf tevergeefs heb geprobeerd op te lossen:

Gegeven zijn de punten O(0,0,0), A(0,3,6) en B (6,3,0). P is een punt op AB.

• Bereken de coördinaten van P zodanig dat OP minimaal is.

mboudd
2-4-2020

Antwoord

Neem een willekeurig punt P op AB en druk de lengte van P uit in $\lambda$:

$
\begin{array}{l}
AB = \left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
3 \\
6 \\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
0 \\
{ - 1} \\
\end{array}} \right) \\
P\left( {\lambda ,3,6 - \lambda } \right) \\
\left| {OP} \right| = \sqrt {x^2 + y^2 + z^2 } \\
\left| {OP} \right| = \sqrt {\lambda ^2 + 3^2 + \left( {6 - \lambda } \right)^2 } \\
\left| {OP} \right| = \sqrt {\lambda ^2 + 9 + 36 - 12\lambda + \lambda ^2 } \\
\left| {OP} \right| = \sqrt {2\lambda ^2 - 12\lambda + 45} \\
\end{array}
$

Nu is die laatste uitdrukking minimaal als $
2\lambda ^2 - 12\lambda + 45
$ minimaal is. Dit is een dalparabool. De waarde daarvan is minimaal bij de top:

$
\eqalign{
& \lambda _{top} = - \frac{b}
{{2a}} = - \frac{{ - 12}}
{{2 \cdot 2}} = 3 \cr
& P\left( {3,3,3} \right) \cr}
$

Dat klopt weer als een bus...

Naschrift

Deze aanpak lijkt meer op de aanpak bij de vorige vragen. Misschien is dat wel zo handig...

$
\begin{array}{l}
AB = \left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
3 \\
6 \\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
0 \\
{ - 1} \\
\end{array}} \right) \\
P(0,0,0) \\
P'(x,y,z) = \left( {\lambda ,3,6 - \lambda } \right) \\
drager\,\,\,PP' = \left( {\begin{array}{*{20}c}
\lambda \\
3 \\
{6 - \lambda } \\
\end{array}} \right) \\
\left( {\begin{array}{*{20}c}
\lambda \\
3 \\
{6 - \lambda } \\
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
0 \\
{ - 1} \\
\end{array}} \right) = 0 \\
\lambda - 6 + \lambda = 0 \\
2\lambda = 6 \\
\lambda = 3 \\
P'(3,3,3) \\
\left| {PP'} \right| = \left| {\left( {\begin{array}{*{20}c}
3 \\
3 \\
3 \\
\end{array}} \right)} \right| = 3\sqrt 3 \\
\end{array}
$

Dat kan ook...

WvR
2-4-2020