WisFaq!

Invariante verhouding projectieve meetkunde

Laat A, B, C en D punten op één lijn zijn in Pⁿ. Schrijf de bijbehorende vectoren in Rⁿ⁺¹ als kleine letters a,b,c en d. Deze vectoren liggen dus in één vlak. Schrijf $c = κ_0 a + λ_0 b$ en $d = κ_1 a+ λ_1 b$. Dan geldt dat de verhouding (ABCD) gedefinieerd is als: $(λ_0 / κ_0 · (κ_1 / λ_1)$. Bewijs nu dat: (ABCD) = (CDAB).

Ik kom hier persoonlijk niet uit, ik heb namelijk voor (ABCD) de vectoren c en d geschreven als lineaire combinaties van a en b. Voor (CDAB) heb ik de vectoren a en b juist geschreven als lineaire combinaties van c en d. Echter lukt het mij niet om dit te vergelijken of in elkaar te substitueren zonder dat het heel erg uit de hand loopt. Hoe pak ik dit wél goed aan?

Jan
29-3-2020

Antwoord

Schrijf ook $a=\alpha_0 c+\beta_0 d$, en $b=\alpha_1 c+\beta_1d$. Stop dit in $c=\kappa_0 a+\lambda_0b$ en $d=\kappa_1a+\lambda_1b$ en werk het helemaal uit zó dat je dingen van de vorm $c=Kc+Ld$ en $d=Mc+Nd$. Dan moet $L=0$ en $M=0$.
Dat geeft vergelijkingen waaruit je
$$\frac{\lambda_0}{\kappa_0}\cdot\frac{\kappa_1}{\lambda_1} =
\frac{\beta_0}{\alpha_0}\cdot\frac{\alpha_1}{\beta_1}
$$kunt afleiden.

kphart
29-3-2020