WisFaq!

Re: Hoe zou ik dit kunnen bewijzen?

als we het voorbeeld van u gebruiken, klopt de stelling wel.

- R³ met orthogonale basis {i j k}
- W=R² met orthogonale basis {i j}, dan volgt dat W(complement)=span(k). De vector $<$1 2 3$>$ ligt niet in span(k), dus ook niet in W(complement).
- conclusie (met dit voorbeeld) klopt de stelling wel

steven
26-3-2020

Antwoord

Het antwoord is correct. Hier wreekt zich dat je je vraag slecht gesteld hebt: je hebt namelijk niet geschreven wat je met `complement' bedoelt.

Het complement van $W$ is voor velen de verzameling $\mathbb{R}^n\setminus W$ (alle vectoren in $\mathbb{R}^n$ die niet in $W$ zitten).

Uit je reactie blijkt dat je een ander soort complement bedoelt; het orthogonale complement misschien?
In dat geval klopt de bewering. Om dat te bewijzen helpt het als je $\mathrm{span}\{v_{k+1},\ldots,v_n\}$ even een naam geeft, zeg $V$. Nu moet je twee dingen aantonen:

• als $w\in W$ en $v\in V$ dan $w\perp v$
  
• $\mathbb{R}^n$ is de som van de deelruimten $W$ en $V$
  

Dat kan, gegeven dat je een orthogonale basis hebt, niet moeilijk zijn.

kphart
27-3-2020