WisFaq!

Re: Hoe zou ik dit kunnen bewijzen?

als we het voorbeeld van u gebruiken, klopt de stelling wel.

- R³ met orthogonale basis {i j k}
- W=R² met orthogonale basis {i j}, dan volgt dat W(complement)=span(k). De vector <1 2 3> ligt niet in span(k), dus ook niet in W(complement).
- conclusie (met dit voorbeeld) klopt de stelling wel

steven
26-3-2020

Antwoord

Het antwoord is correct. Hier wreekt zich dat je je vraag slecht gesteld hebt: je hebt namelijk niet geschreven wat je met `complement' bedoelt.

Het complement van W is voor velen de verzameling \mathbb{R}^n\setminus W (alle vectoren in \mathbb{R}^n die niet in W zitten).

Uit je reactie blijkt dat je een ander soort complement bedoelt; het orthogonale complement misschien?
In dat geval klopt de bewering. Om dat te bewijzen helpt het als je \mathrm{span}\{v_{k+1},\ldots,v_n\} even een naam geeft, zeg V. Nu moet je twee dingen aantonen:

• als w\in W en v\in V dan w\perp v
  
• \mathbb{R}^n is de som van de deelruimten W en V
  

Dat kan, gegeven dat je een orthogonale basis hebt, niet moeilijk zijn.

kphart
27-3-2020