WisFaq!

Een lineaire deelruimte als nulruimte van een matrix

Klopt het dat alle (eindig dimensionale) lineaire deelruimten van de $\mathbf{R}^n$ geschreven kunnen worden als een nulruimte van een of andere matrix A? Met andere woorden, als U een lineaire deelruimte is, geldt er dan altijd dat er een matrix M bestaat zodat U precies uit die vectoren x bestaat met Ax = 0? Zo ja, hoe bewijs ik deze statement.

Jan
22-3-2020

Antwoord

Beste Jan,

Veronderstel dat $U$ dimensie $k$ heeft en kies een basis van $U$:
$$\left\{b_1,b_2,\ldots,b_k\right\}$$Je kan deze aanvullen tot een basis van $\mathbb{R^n}$:
$$\left\{b_1,b_2,\ldots,b_k,c_{k+1},c_{k+2},\ldots,c_n\right\}$$Neem nu de lineaire afbeelding $\mathbb{R^n} \to \mathbb{R^n}$ die elke $b_i$ ($1 \le i \le k$) op de nulvector afbeeldt en elke $c_j$ ($k+1 \le j \le n$) op zichzelf.

Beschouw de matrixvoorstelling van deze afbeelding ten opzichte van de gekozen basis; de matrix is heel eenvoudig en de nulruimte is...

mvg,
Tom

td
22-3-2020