WisFaq!

Een lineair vlak

Gegeven zijn twee affiene deelruimten E, F met de doorsnede leeg. Er geldt dat E = X + U met X een punt in de affiene ruimte en U een lineaire deelruimte Rⁿ. Ook geldt F = Y + V met Y een punt in de affiene ruimte en V een lineaire deelruimte van de Rⁿ. Hoe bewijst men dat er een lineaire deelruimte W van dimensie n-1 bestaat zodat U + V bevat is in W, čn de vector van A naar B niet bevat is in W.

Jan
16-3-2020

Antwoord

Dat lijkt me lastig, want over $A$ en $B$ is niets gegeven. Maar misschien bedoel je $X$ en $Y$?
Het volstaat te bewijzen dat $X-Y$ niet in de deelruimte $U+V$ zit (bedenk zelf waarom). En dat gaat het snelst uit het ongerijmde. Stel er zijn $u\in U$ en $v\in V$ met $X-Y=u+v$. Dan volgt $X-u=Y+v$ en dat kan niet ($X-u$ zit in $E$ en $Y+v$ in $F$).

kphart
16-3-2020