WisFaq!

De algebraische multipliciteit van een eigenwaarde

Ik was het bewijs aan het bestuderen van de stelling dat de geometrische multipliciteit van een eigenwaarde kleiner of gelijk is aan de algebraische multipliciteit.

In ongeveer de laatste zin stond:

det(....) = (lamda1 - lamda)^k * det(....) , dit impliceert dat lamda1 een algebraische multipliciteit heeft van tenminste k (de geometrische multipliciteit)

Mijn vraag is: waarom ''tenminste'' en niet ''gelijk aan'' ?

(ik dacht zelf omdat det(...) aan de RHS nog meer (lamda1 - lamda) factoren kan geven)

Steven
11-3-2020

Antwoord

Ik neem aan dat ergens in dat bewijs de meetkundige multipliciteit $k$ is genoemd en een basis voor de deelruimte $\{v: Av=\lambda_1v\}$ is gekozen. Dan is je gedachte over die potentiële extra factoren $\lambda_1-\lambda$ inderdaad de juiste: de algebraïsche multipliciteit telt het aantal factoren $\lambda_1-\lambda$ dat in $\det (A-\lambda I)$ voorkomt.

Hier is een voorbeeld: de matrix
$$\left(\begin{array}{cc} 2 & 1\\ 0 & 2\end{array}\right)
$$heeft één eigenwaarde, namelijk $2$, met meetkundige multipliciteit $1$ en algebraïsche multipliciteit $2$.

kphart
12-3-2020