WisFaq!

Vectorvoorstelling bepalen van snijdende lijnen

Ik krijg een vectorvoorstelling niet goed omdat ik mischien iets over het hoofd zie.

Gegeven:

lijn m:x-2y-4=0

Gevraagd:

Vectorvoorstellingen te bepalen van lijnen door P(-3,1¹/₂) getrokken, zodanig dat deze lijnen de lijn m snijden onder een hoek waarvan |cos$\Phi$|=√5/5.

mboudd
7-3-2020

Antwoord

Zoals de opgave hier staat zou het zoiets moeten worden. Je moet maar kijken. Ik denk dat het probleem in de staart zit...

Uitwerking

$
\begin{array}{l}
m = \left( {\begin{array}{*{20}c}
4 \\
0 \\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
2 \\
1 \\
\end{array}} \right) \\
k = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{ - 3} \\
{1\frac{1}{2}} \\
\end{array}} \right) + \mu \left( {\begin{array}{*{20}c}
a \\
b \\
\end{array}} \right) \\
\end{array}
$
$
\eqalign{
& \left| {\cos \Phi } \right| = \frac{{2a + b}}
{{\sqrt 5 \cdot \sqrt {a^2 + b^2 } }} = \frac{{\sqrt 5 }}
{5} \cr
& \cos ^2 \Phi = \frac{{\left( {2a + b} \right)^2 }}
{{5\left( {a^2 + b^2 } \right)}} = \frac{1}
{5} \cr
& \cos ^2 \Phi = \frac{{\left( {2a + b} \right)^2 }}
{{\left( {a^2 + b^2 } \right)}} = 1 \cr}
$
$
\begin{array}{l}
\left( {2a + b} \right)^2 = a^2 + b^2 \\
4a^2 + 4ab + b^2 = a^2 + b^2 \\
3a^2 + 4ab = 0 \\
a(3a + 4b) = 0 \\
a = 0 \vee 3a + 4b = 0 \\
a = 0 \vee 3a = - 4b \\
k_1 :\left( {\begin{array}{*{20}c}
x \\
y \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{ - 3} \\
{1\frac{1}{2}} \\
\end{array}} \right) + \mu _1 \left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
1 \\
\end{array}} \right) \\
of \\
k_2 :\left( {\begin{array}{*{20}c}
x \\
y \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{ - 3} \\
{1\frac{1}{2}} \\
\end{array}} \right) + \mu _2 \left( {\begin{array}{*{20}c}
4 \\
{ - 3} \\
\end{array}} \right) \\
\end{array}
$

Controle

Ik heb nog even de grafieken getekend:



Ik heb de zaak ook even nagerekend:



Dus zoiets moet het zijn...

WvR
8-3-2020