WisFaq!

Lijnstuk, cirkels en een rechte

Opgave
Rechte m en 2 cirkels C(O₁, R) en K(O₂, r); lengte a (van een nog te zoeken lijnstuk). Construeer het lijnstuk PQ = a met PQ // m, én, P ? C(O₁, R) en Q? K(O₂, r).



Mijn oplossing
Het is evident dat beide cirkels langs dezelfde kant van de rechte m moeten liggen.

Kies een lijnstuk P₁Q₁ resp. P₂Q₂, zodanig dat P₂Q₂ $<$ a $<$ P₁Q₁, met P₁Q₁ en P₂Q₂ beide evenwijdig met m. Verbind P₁ met P₂ en Q₁ met Q₂, dan is P₁Q₁Q₂P₂ een trapezium.

Bepaal dan de middenparallel S₁S₂ van dat trapezium en teken het lijnstuk S₁S₂ dat de cirkels (C) resp. (K) snijdt in P3 resp. Q₃. Dan blijkt met een naukeurigheidsgraad van 1 mm, het lijnstuk p₃Q₃ een zeer goede benadering te zijn van PQ = a. Met de meetlat ziet men geen verschil. De exacte waarde van PQ = a is 5,3 cm en de waarde voor p₃Q₃ is 5,36 cm. Er is dus een fout gemaakt van 0,6 mm wat met een passer en meetlat geen merkbaar verschil oplevert.

Daar een middenparallel van een trapezium evenwijdig is met de kleine en de grote basis, is men zeker dat p₃Q₃ // m.

Vraag
Ik ben er van uit gegaan dat hier geen exacte oplossing bestaat, omdat de middelpunten van de cirkels niet op dezelfde hoogte liggen. Maar is dit wel zo? Bestaat er dan toch een exacte oplossing? Indien dit wel zo is, graag een 'hint' om tot een exacte oplossing te komen. Hartelijk dank!

Jan Heyndrikx
7-3-2020

Antwoord

Je had gewoon geluk dat je eerste keuze een goede middenparallel opleverde. Bij een andere keuze van de eerste twee lijnen zou je wat anders krijgen. Verder past willekeurig kiezen niet in een zo'n constructie: alles moet verantwoord worden.

Ik zou het middelpunt van een van de cirkels parallelt aan $m$ over $a$ verplaatsen en de cirkel ook. Snij de opgeschoven cirkel met de andere cirkel. Het snijpunt is een van $P$ of $Q$.

kphart
7-3-2020