WisFaq!

Re: Gelijkheid van twee limieten aantonen

Ik zie niet hoe we dit moeten bewijzen. Hoe gaan we namelijk van $a_{2k + 1} - a_{2k}$ over tot $a_{k + 1} - a_{k}$. En hoe bewijzen we deze limiet, want dan moet ik een geschikte N vinden, gegeven een epsilon. Echter lukt dat niet.

Jan
1-3-2020

Antwoord

Van $k$ en $k+1$ is altijd eentje even en de ander oneven, dus je bewijst zeker dat $a_{2k+1}-a_{2k}$ naar nul convergeert.
Verder: als je inderdaad het voorwerk hebt gedaan dat je eerste vraag suggereert dat je gedaan hebt dan weet je dat $a_k\ge a_2=\frac32$ is voor $k\ge1$.
Maar dan volgt, voor $k\ge2$ dat $a_{k-1}\cdot a_k\ge (\frac32)^2$, en dus
$$|a_{k+1}-a_k|\le \left(\frac23\right)^2|a_k-a_{k-1}|
$$Nu moet dan vinden van die $N$ wel lukken.

kphart
1-3-2020