WisFaq!

Gelijkheid van twee limieten aantonen

Gegeven is de rij $(a_n)$ met $n$ een element van de natuurlijke getallen (inclusief 0). Er geldt $a_0 = 1$ en $a_{n+1} = 1 + 1/a_n$.

Gevraagd wordt om te bewijzen dat de volgende limieten hetzelfde zijn: lim k$\to$ oneindig van $a_{2k}$ = lim k $\to$ oneindig van $a_{2k+1}$. Ik heb al aangetoond dat beide rijtjes convergent zijn. Echter lukt het me niet om te bewijzen dat beide limieten hetzelfde zijn (op een formele manier).

Ik heb kunnen bewijzen dat de linkerkant van de gelijkheid als limietwaarde het supremum is van $a_{2k} | k$ een natuurlijk getal} en dat de rechterkant van de gelijkheid als limietwaarde het infimum is van de verzameling $a_{2k+1} | k$ een natuurlijk getal}. We mogen geen gebruik maken van Cauchy rijen.

Jan
1-3-2020

Antwoord

Als het goed is heb je dus al kunnen laten zien dat de even termen stijgen en dat de oneven termen dalen.
Je zou nu kunnen proberen te laten zien dat $\lim_{k\to\infty}a_{k+1}-a_k=0$.
En wel door $a_{k+1}-a_k$ te relateren aan $a_k-a_{k-1}$:
$$a_{k+1}-a_k = \frac{a_{k-1}-a_k}{a_{k-1}\cdot a_k}
$$

kphart
1-3-2020