WisFaq!

Een isometrie van positieve reële lijn naar zichzelf

Gegeven is een afstandsfunctie $d(x,y) = |x-y|$ werkend op $\mathbf{R}_{>0}$ naar zichzelf. Zij $f$ een isometrie werkend op ($\mathbf{R}_{>0}$, $d$) naar zichzelf.

Gegeven is dat voor alle x in de metrische ruimte geldt:
$f(x) \geq x$.

Gevraagd wordt om een strengere eis te bewijzen, namelijk: $f(x) = x$.

Ik begrijp dat als we aannemen dat $f(x)>x$ we dan geen bijectieve functie zijn (en dus een tegenspraak hebben met het gegeven dat $f$ een isometrie is). De reële halfrechte schuift namelijk een stukje op. Echter lukt het me niet om dit formeel hard te maken. Voornamelijk omdat er geen 'kleinste element' is dat ik als voorbeeld kan gebruiken.

Dennis
13-2-2020

Antwoord

Neem twee punten $a$ en $b$ in $(0,\infty)$, zeg met $a < b$. Elk postief getal $x$ ligt nu vast door de twee absolute waarden $|x-a|$ en $|x-b|$. Daarmee ligt $f(x)$ dus vast ten opzichte van $f(a)$ en $f(b)$.
Nu kan gelden $f(a) < f(b)$ of $f(a) > f(b)$. In het eerste geval kun je beredeneren dat $f$ gegeven wordt door $f(x)=x+c$ met $c=f(a)-a$. In het tweede geval door $f(x)=-x+c$ met $c=a+f(a)$. In dat laatste geval heeft $f$ negatieve waarden, voor voldoend grote $x$, dus dat kan niet optreden.
Blijft de eerste mogelijkheid.

kphart
13-2-2020