WisFaq!

Een implicatie van een limiet naar een andere

Gegeven is een functie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Te bewijzen is: Als $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = b$ voor een $b \in \mathbb{R}$, dan geldt $\lim_{x \rightarrow 0} f(x^3) = b$. Mijn huidige bewijs maakt van $f(x^3)$ een andere functie en dit gaat niet goed alleen zie ik niet waar.

Bewijs:
Definieer $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ met $g(y) = f(y^3)$. Het is dus ook goed om te bewijzen dat als $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = b$ voor een $b \in \mathbb{R}$, dan geldt $\lim_{y \rightarrow 0} g(y) = b$.

Zij $\epsilon \in \mathbb{R}_{>0}$ willekeurig. Dan is er een $\delta_0 \in \mathbb{R}_{>0}$ zodat als $x \in \mathbb{R}$ en $|x| < \delta_0$, dan $|f(x) - b| < \epsilon$. Neem nu $\delta \in \mathbb{R}_{>0}$ zodat $\delta < \delta_0$. Laat verder $y \in \mathbb{R}$ voldoen aan $|y| < \delta$. Omdat $y \in \mathbb{R}$ volgt dat er een $x \in \mathbb{R}$ bestaat zodat $y = x^3$ (en dus is ook $x^3 \in \mathbb{R}$). Er geldt dan dat $|x^3| $<$ \delta $<$ \delta_0$. Oftewel, $|x^3| $<$ \delta_0$. Dan volgt $|f(x^3) - b| $<$ \epsilon$. Oftewel, $|g(x) - b| $<$ \epsilon$. (Maar hier had dus $g(y)$ moeten komen te staan ipv $g(x)$...).

Marcos
7-2-2020

Antwoord

Hallo Marcos,

Wat je hebt gedaan klopt inderdaad niet helemaal. Je bewijst met de limiet $\lim_{y \rightarrow 0} g(y) = b$ dat $\lim_{x^3 \rightarrow 0} f(x^3) = b$ in plaats van waar je naar toe wil $\lim_{x \rightarrow 0} f(x^3) = b$. Ik denk niet dat het gebruik van $g$ handig is.

Je zou het - zonder $g$ - zo kunnen aanpakken vanaf "Laat verder":

Laat verder $x_0 \in \mathbb{R}$ voldoen aan $|x_0| $<$ \delta$ en $|x_0| $<$ 1$.
Dan geldt ook $x_0^3 $<$ x_0 $<$\delta$ (en nu zie je waarom $<$1 nodig was).
Dus volgt $|f(x_0^3) - b| $<$ \epsilon$.

Je ziet trouwens dat ik er voor kies om een gekozen waarde altijd een index te geven (in dit geval 0) om verwarring met de variabele te voorkomen.

Met vriendelijke groet,

FvL
8-2-2020