WisFaq!

Een schattingsbewijs geven met twee vectoren

Gevraagd wordt om te bewijzen dat $\forall x,y \in R^n : (1 + ||x + y||) \geq \frac{1 + ||x||}{1 + ||y||}$, waarbij $\|\cdot\|$ de Euclidische norm is. Er mag gebruik worden gemaakt van $(1 + ||x+y||) \leq (1 + ||x||)(1 + ||y||)$ en $||y|| = ||-y||$. Ik heb dit geprobeerd om te bewijzen maar ik kom elke keer op dit resultaat: $\frac{1+||x||}{1 + ||y||} \leq 1 + ||x|| + \frac{||y||}{1 + ||y||}$. Ik weet niet hoe ik verder moet.

Mark
1-2-2020

Antwoord

Begin met de gegeven ongelijkheid, maar voor de twee vectoren $x+y$ en $-y$:
$$1+\|x+y-y\| \le (1+\|x+y\|)(1+\|-y\|)
$$Nu gaat het verder makkelijk.

kphart
1-2-2020