WisFaq!

Limiet van een quotiënt van polynomen

Gevraagd wordt om een epsilon delta bewijs te geven van de volgende limiet met een zo groot mogelijk domein waarop de functie gedefinieerd is.
$$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{1-x}{1-x} = 1.$$Mijn bewijs volgt hieronder. Ik heb het gevoel dat dat net iets te triviaal is omdat ik niet gebruik maak van de aanname dat de afstand van $x$ tot 1 kleiner is dan $\delta$. Weet iemand of je dat gegeven per se moet gebruiken in een bewijs?

$\textit{Bewijs}$. Zij $\epsilon $>$ 0$. Kies $\delta $>$ 0$ zo dat $\delta $<$ \epsilon$. Laat $x \in R \backslash \{1\}$ met $|x - 1| $<$ \delta$. Er volgt dat $\eqalign{\left| \frac{1-x}{1-x} - 1\right| = |1 - 1| = |0| = 0 }$<$ \delta $<$ \epsilon.$ (immers $x \neq 1$).

Mark
31-1-2020

Antwoord

Je bewijs is correct; de functie waar het om gaat is constant, met waarde $1$ en dan doet $\delta$ er niet toe als hij maar positief is. Je kunt zelfs $\delta=1$ nemen, ongeacht $\varepsilon$.
Dit soort uitzonderlijke gevallen is wel leerzaam want je kunt je hier op de juiste vorm van de redenering concentreren.

kphart
31-1-2020