WisFaq!

Het integreren van somfuncties

In mijn Leerboek der Analyse staat het volgende vraagstuk.
Integreer van 0-pi somma van n=1 tot oneindig:
sin(nx)/n² dx.

Oplossing volgens het boek:
somma n =1 tot n naar oneindig : 2 gedeeld door
( 2n - 1 ) tot de de derde. Volgens mij kan dit niet goed zijn. Ik krijg Somma n =1 tot n naar oneindig : 1-( -1 ) tot de n-de gedeeld door n tot de derde macht. Is dit juist ?

W.Venema
25-1-2020

Antwoord

Beide zijn goed, voor alle duidelijkheid schrijf in de integraal van een term nog even op:
$$\int_0^\pi\frac{\sin nx}{n^2}\,\mathrm{d}x=\left[-\frac{\cos nx}{n^3}\right]_0^\pi=-\frac{(-1)^n}{n^3}+\frac1{n^3}
$$Welnu, daar staat $0$ als $n$ even is, en $\frac2{n^3}$ als $n$ oneven is. De oplossing in het boek
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{(2n-1)^3}
$$slaat gewoon de even termen (de nullen dus) gewoon over.

kphart
25-1-2020