WisFaq!

Integraal over een oppervlak

Gevraagd wordt om $$\int_S xy \text{d}S$$ over de paraboloide $z=x^2+y^2$ boven het vierkant $0 $<$x $<$ 1, 0 $<$ y $<$ 1$ te berekenen. Ik heb allereerst $\text{d}S$ uitgerekend, welke gelijk is aan $\sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}\text{d}x \text{d}y$. Toen resulteerde ik met deze integraal, $$\int_0^1 \int_0^1 xy \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}\text{d}x \text{d}y.$$ Deze integraal is volgens mij nog steeds te lastig, kan iemand mij vertellen wat er precies fout gaat.

Marcos
22-1-2020

Antwoord

Dat valt best mee; als je bijvoorbeeld eerst met betrekking tot $y$ integreerd komt er
$$\int_0^1 y\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,\mathrm{d}y
$$(de factor $x$ heb ik even buiten die integraal gehaald). Bedenk dat $1+4x^2$ hier een constante is en dat je een substitutie als $u=y^2$ (of zelfs $u=4y^2$) kunt toepassen; je krijgt dan met iets van de vorm $b\int\sqrt{a+u}\,\mathrm{d}u$ te maken. Daarna, bij het integreren naar $x$ kun je $v=x^2$ doen.

kphart
22-1-2020