WisFaq!

Een tripel integraal over R³

Gevraagd wordt een trippel integraal over $\mathbf{R}$³ waarbinnen: cos²(θ) / e^r d(r,θ,φ), uit te rekenen. Nu ben ik een beetje in de war vanwege de gekozen variabelen want zitten we dan in bol coördinaten of moet dat nog gebeuren en dus nog een jacobiaan erbij doen?

Richard
19-1-2020

Antwoord

Zoals de vraag gesteld is
$$
\iiint_{\mathbb{R}^3}\cos^2\theta \,e^{-r}\,\mathrm{d}(r,\theta,\varphi)
$$is het antwoord $\infty$. De namen van de variabelen mogen er niet toe doen, er staat letterlijk hetzelfde als
$$
\iiint_{\mathbb{R}^3}\cos^2x \,e^{-y}\,\mathrm{d}(x,y,z)
$$en hier zou je dus alledrie, $r$, $\theta$, en $\varphi$ van $-\infty$ naar $\infty$ moeten laten lopen, en in dat geval komt er $\infty$ uit.

Vermoedelijk is echter eerder in het boek afgesproken dat zodra $r$, $\theta$, en $\varphi$ gebruikt worden je ze meteen als bolcoördinaten moet interpreteren (blader maar eens terug). In dat geval krijg je een product van drie losse integralen:
$$
\int_0^\infty e^{-r}\,\mathrm{d}r\times\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,\mathrm{d}\theta\times\int_0^\pi1\,\mathrm{d}\varphi
$$(misschien moet je de grenzen voor $\theta$ en $\varphi$ omwisselen, afhankelijk van de conventie van je boek).

kphart
19-1-2020