WisFaq!

Oppervlakte tussen twee krommen

Het wil mij niet lukken om de snijpunten te vinden tussen de krommen y²=ax en 2x + 3y = 2a voor een zekere a $>$ 0. Dit doe ik omdat ik de oppervlakte wil berekenen die wordt ingesloten tussen deze twee krommen. Is er hier zo’n truuk voor die ik over het hoofd zie?

Arjan
18-1-2020

Antwoord

Vermenigvuldig de tweede vergelijking met a wat 2ax + 3ay = 2a² geeft. Vermenigvuldig de eerste met 2 wat geeft 2y² = 2ax. In beide vergelijkingen zit nu de term 2ax die door een aftrekking of optelling gaat verdwijnen.

Je vindt 2y² + 3ay -2a² = 0 ofwel
(2y - a)((y + 2a) = 0 waaruit volgt y = ¹/₂a of y = -2a
Substitutie in een van de twee gegeven vergelijkingen levert de bijpassende x-waarde.

Drie opmerkingen:
1) De vermenigvuldiging met a is ‘veilig’ want a $>$ 0
2) De laatste ontbinding kan vermeden worden door op de tweedegraads vergelijking de abc-formule toe te passen.
3) Uiteraard kan het volledig anders. Uit de eerste vergelijking is de variabele x direct vrij te maken waarna je in de tweede vergelijking de x hierdoor kunt vervangen. Het geeft nauwelijks meer werk dan de nu gevolgde route.

MBL
18-1-2020