WisFaq!

Integreren over twee dimensies

Gevraagd wordt om aan te tonen dat de integraal over een vierkant van 1x1 met als integrand: [1/(1-(xy)²)] gelijk is aan (3/4) * Riemann-zèta-functie (met s=2). De formule komt van: https://nl.wikipedia.org/wiki/Riemann-zèta-functie#Definitie.
Nu wordt als hint gegeven dat voor willekeurige I en J geldt: 0.5(I-J) + 0.5(I+J) = I. Bovendien is ook gegeven dat de integraal over hetzelfde vierkant maar dan met integrand [1/(1-xy)] - [1/(1+xy)] gelijk is aan 0.5*Riemann-zèta-functie (met s=2). Hoe zou ik hier gebruik kunnen maken van dit resultaat en de hint om de eerst genoemde integraal op te kunnen lossen? Ik dacht aan een substitutie met a = x² en b = y² maar het schiet niet op.

Melvin
12-1-2020

Antwoord

Je moet naar $\zeta(2)$ toewerken, kennelijk, en $\zeta(2)$ is gedefinieerd als een oneindige som: $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}$.
Ik zou om te beginnen eens kijken of je van $1/(1-(xy)^2)$ niet een som kun maken; via een meetkundige reeks bijvoorbeeld:
$$\frac1{1-(xy)^2} = \sum_{n=0}^\infty (xy)^{2n}
$$en $(xy)^{2n}$ kun je wel over dat vierkant integreren, toch?
Iets dergelijks kun je ook met $1/(1-xy)$ en $1/(1+xy)$ doen.

kphart
12-1-2020