WisFaq!

Booglengte formule justificatie

De formule van de booglengte van een kromme is gegeven als de integraal over dx van a tot b met als integrand sqrt(1 + (dy/dx)²). Als afleiding wordt gezegd om ds² = dx² + dy² te bekijken, waarbij dx en dy infinitesimaal kleine hoeveelheden zijn. Vervolgens wordt aan beide kanten de wortel genomen: ds = sqrt(dx² + dy²). Ten slotte wordt de rechterkant herschreven als sqrt(dx²(1 + (dy/dx)²). Maar nu is opeens dy/dx de afgeleide van de functie behorend tot de kromme? Hoezo kan en mag dit? We begonnen toch met de initiële aanname dat dy en dx hele kleine reeële getallen waren en de quotiënt tussen deze twee is 'opeens' de afgeleide geworden? Dit zijn toch twee fundamenteel verschillende dingen?

Richard
5-1-2020

Antwoord

Je hebt gelijk, dit verdient niet de schoonheidsprijs. Het is een bekend geval van een `bewijs door handen wapperen' waarbij infinitesimalen en `heel kleine reële getallen' door elkaar gehaald worden.
Ik zou overigens eerst opgemerkt hebben dat kennelijk
$$\frac{ds}{dt}=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}
$$en dan, voor het speciale geval dat $y$ een functie van $x$ is, en we dus naar de lengte van de grafiek kijken, $t=x$ gesteld hebben en daarmee de tweede formule afgeleid hebben.
De echte definitie van booglengte kun je via de link hieronder vinden.

Zie Wikipedia: Arc Length [https://en.wikipedia.org/wiki/Arc_length]

kphart
5-1-2020