WisFaq!

Basis van eindig dimensionale vectorruimte

Gegeven zijn een n-tal vectoren (v₁ t/m v_n) zodat deze een basis vormen van een vectorruimte ≠{0}. Definieer een inprodukt op V (kan standaard zijn, hoeft niet), notatie: $<$ , $>$. Zij w_p = v_p - ($<$v_p, v₁$>$ / $<$v₁, v₁$>$)v₁, voor i = 2,..,n.

Gevraagd: bewijs dat dan geldt dat v₁, w₂, ..., w_n een basis is voor V.

We willen dus aantonen dat de vectoren lineair onafhankelijk zijn t.o.v. elkaar, en dat elke vector in V afhankelijk is van dit stelsel vectoren. Voor de eerste eis was ik bezig met het aantonen dat alleen de triviale relatie tussen de vectoren bestaan, alleen dat wil niet lukken. Voor de tweede eis heb ik geen idee wat te doen.

Richard
2-1-2020

Antwoord

Even volhouden en kort het quotiënt $\frac{\langle v_i,v_1\rangle}{\langle v_1,v_1\rangle}$ even af met $\mu_i$.
Je begint met $c_1v_1+c_2w_2+\cdots+c_nw_n=0$ en daar maak je van $(c_1-c_2\mu_2-\cdots c_n\mu_n)v_1+c_2v_2+\cdots+c_nv_n=0$. Nu gebruiken dat de $v_i$ onafhankelijk zijn.
Voor de tweede eis het je een paar stellingen tot je beschikking: kennelijk is het nieuwe stelsel lineair onafhankelijk en bestaat het uit $n$ vectoren, net als het oude stelsel. Een stelsel van $n+1$ vectoren in een $n$-dimensionale ruimte is lineair afhankelijk, en $V$ is $n$-dimensionaal, dus ...

kphart
2-1-2020