WisFaq!

Aantonen onafhankelijk stelsel

Ik weet niet of ik het volgende vraagstuk agebraisch of grafisch moet kunnen aantonen en hoe?

Ik weet dat voor een onafhankelijk stelsel geldt l=o en m=0 maar kanhier niet mee verder.

Gegeven zijn de niet-nulvectoren a en b met verschillende dragers.
Toon aan dat de vectoren (a+b) en (a-b) een onafhankelijk stelsel vormen.

mboudd
25-12-2019

Antwoord

Ga uit van een lineaire combinatie m(a+b) + n(a-b) = 0
waarbij a, b en 0 vectoren zijn (dus geen getallen!) en m en n willekeurige getallen.
Vorm dit om tot (m+n)a + (m-n)b = 0 en gebruik nu het gegeven dat a en b een onafhankelijk tweetal vectoren is.
Dat impliceert dat m+n = 0 én m-n = 0 (en dit zijn beide nu wèl twee getallen nul!).
Concludeer nu dat m = 0 en n = 0 zodat a+b en a-b onafhankelijk zijn volgens de definitie.

Je kunt er ook een meetkundige draai aan geven.
De vectoren a en b zijn geen nulvector en hebben verschillende dragers wat betekent dat ze onafhankelijk zijn.
Teken je nu het parallellogram waarvan a en b twee zijden zijn, dan heb je in je boeken vast wel gezien dat de vectoren a+b en a-b in feite de diagonalen van dit parallellogram zijn.
Die twee diagonalen liggen nu ook niet op één lijn en zijn ook niet de nulvector zodat ze een onafhankelijk stelsel vormen.

Het eerst gegeven bewijs zal wel zijn wat van je gevraagd wordt. Het tweede ‘bewijs’ steunt op een plaatje dat nooit alle gevallen kan laten zien wanneer er meer dan twee vectoren in het spel betrokken zijn.

MBL
25-12-2019