WisFaq!

Goniometrische identiteit

Goede avond,
Ik zie volgende oefening in een cursus staan:
(1) Cos(a+b)cos(a-b)= (2) sin(a+b)sin(a-b)= (3)cos²b-sin²b
De eerst heb ik zonder problemen gevonden (1)=(2)
Ik probeer nu (2)=(3) te bewijzen.
=sin(a+b)sin(a-b)=cos²b-sin²b
= (sinacosb+cosasinb)(sinacosb-cosasinb)
=sin²acos²b-cos²asin²b
=(1-cos²a)cos²b-(1-sin²a)sin²b
=cos²b-cos²acos²b-sin²b+sin²asin²b
=cos²b-sin²b-(cos²acos²b-sin²asin²b
=cos²b-sin²b -(cosacosb-sinasinb)(cosacosb+sinasinb).
Ik zit vast .Zou het kunnen dat in de derde tweeterm
:cos²b-sin²b verkeerd genoteerd is en"de b" een a moet zijn in beide termen zijn??
Kan het zijn dat ik iets niet goed zie.
.Ik geloof dat mijn redenering foutloos is of toch niet maar ik geloof niet dat in mijn betoog rekenfouten staan.
Of toch wel??
Vriendelijke groeten,

Rik Lemmens
19-12-2019

Antwoord

Dag Rik,
ALS
sin(a + b)ˇsin(a - b) = cos²b - sin²b
DAN
moet dit ook gelden voor a = 0 én b = 0.
Welaan, links staat er dan sin(0)ˇsin(0) = 0
en rechts cos²(0) - sin²(0) = 1.
En dat krijg je ook als je in de opgave in het rechterlid b door a vervangt.
Dus is de opgave hoe dan ook fout.
Groet,

dk
19-12-2019