WisFaq!

Aantonen vergelijking integraal

Ik moet aantonen:

2$\int{}$(1 tot a)¹/_xdx=$\int{}$(1 tot a²)¹/_xdx (a$>$1)

ik weet niet of ik het zo goed doe:

2[lna](van 1 tot a) 2=2lna-2ln1=2lna=lna²=$\int{}$ (1tot a²)¹/_xdx

mbouddou
10-12-2019

Antwoord

Dat klopt.
Het kan ook met een substitutie: begin met
$$\int_a^{a^2}\frac1x\,\mathrm{d}x
$$vervang $x$ door $au$; dan krijg je de integraal
$$\int_1^a\frac1{au}\,\mathrm{d}(au) = \int_1^a\frac1u\,\mathrm{d}u
$$En dan volgt:
$$\int_1^{a^2}\frac1x\,\mathrm{d}x = \int_1^{a}\frac1x\,\mathrm{d}x + \int_a^{a^2}\frac1x\,\mathrm{d}x = 2\int_1^a\frac1x\,\mathrm{d}x
$$

kphart
10-12-2019