WisFaq!

Constructie van een trapezium met specifieke gegevens

Opgave: Gegeven zijn de diagonalen d₁ en d₂ van een trapezium, alsook de scherpe hoek 'alfa' tussen de diagonalen en een opstaande zijde van dat trapezium.

Teken dan het betreffende trapezium.



Mijn bevindingen: De constructie werd uitgevoerd in GeoGebra. Vooreerst koos ik voor de linker opstaande zijde AB met lengte a. Ik zocht dan naar de meetkundige plaats van de punten S, van waaruit men AB onder een hoek 'alfa' kan zien. Dat correspondeert met de grootste boog van de cirkel (K). Teken dan de halfrechten AS en BS en duid op AS resp. BS het punt C resp. D aan, zodanig dat AC = d₁ resp. BD = d₂. Vervolgens wordt B met C verbonden, alsook C en D, en eveneens A met D.

Ik stel dan vast dat de figuur ABC'D' geen trapezium is, want BC' en AD' zijn niet evenwijdig. Zier hiervoor de voorlopige figuur ABC'D'. Ik tekende dan in S' de loodlijn op BC resp. AD. Beide loodlijnen S'Y₃' en S'Y₄', maken een hoek 'bėta'. Vervolgens verplaatst ik S' op (K), tot dat beide loodlijnen samen vallen. Op de figuur is te zien dat dit gebeurt in het punt S (beide loodlijnen SY₁ en SY₂, in rode kleur, vallen dan samen). Het gezochte trapezium is dan de vierhoek ABCD. Via deze werkwijze stelt men vast dat er ook nog een tweede punt S op (K) bestaat waarvoor BC // AD.

Toch heb ik de indruk dat deze werkwijze niet echt handig is als men dit op een blad papier zou uitwerken. Het punt S is zeker al gelegen op de grootste boog van de cirkel (K), wat kan opgevat worden als een eerste voortbrengende. Het zou handig zijn indien er een 2e voortbrengende kan worden gevonden die de eerste snijdt in punten S, die achteraf de garantie geven dat BC en AD evenwijdig zijn. Ik ben zeker dat die 2e voortbrengende ook effectief moet bestaan.

Samengevat kan je stellen dat ik wel een oplossing vond, maar dat de werkwijze niet echt handig is, als men niet beschikt over een tool. Vandaar ook mijn vraag.

VRAAG: Hoe slaag ik er in die 2e voortbrengende te vinden, die de eerste snijdt in twee punten S, die telkens aanleiding geven tot een trapezium? Graag een tip. Hartelijk dank voor uw tussenkomst.

Naschrift

Yves De Racker
9-12-2019

Antwoord

Beste Yves,

Wat jij nu beschrijft is eigenlijk niet echt een constructie. Door te bewegen met een punt laat je twee lijnen samenvallen, maar dat is niet exact uit te voeren (het menselijk oog kent zijn beperkingen).

Ik heb de volgende suggestie voor een constructie:

1. Begin eens met $AC$ met lengte $d_1$ en trek vanuit $A$ een lijnstuk $AB'$ van lengte $d_2$ en zodanig dat $AC$ en $AB'$ de gewenste scherpe hoek maken. Als je jouw plaatje bekijkt lijkt $\angle CAB'$ juist stomp te zijn, maar dat is m.i. geen noodzaak.
2. Teken vanuit $A$ een lijn $\ell$ evenwijdig aan $CB'$.
3. Teken de cirkel met middelpunt $A$ en straal $a$ en snijdt die met $CB'$. Kies een van de twee snijpunten als punt $B$.
4. Teken de lijn door $B$ evenwijdig met $AB'$ en snijdt die met $\ell$. Het snijpunt is $D$.

Als ik me niet vergis voldoet $ABCD$ dan aan de eisen en zijn er inderdaad twee mogelijkheden.

Check?

Met vriendelijke groet,

FvL
11-12-2019