WisFaq!

Basis voor Rⁿ

Beste Wisfaq,

Ik had een vraag over een basis voor Rⁿ. Als ik het goed heb begrepen zijn een verzameling vectoren een basis voor Rⁿ als

- de vectoren lineair onafhankelijk zijn
- het opspansel van de vectoren gelijk is aan Rⁿ

Mijn vraag is: waarom is een voorwaarde dat die vectoren lineair onafhankelijk moeten zijn, terwijl vectoren niet Rⁿ kunnen opspannen als ze lineair afhankelijk (niet lineair onafhankelijk) zijn. Met andere woorden: is de eerste voorwaarde (vectoren moeten lineair onafhankelijk zijn) onnodig?

Ik weet niet zeker of de uitspraak dat 'vectoren Rⁿ niet kunnen opspannen als ze lineair afhankelijk zijn' waar is, maar dat heb ik zelf soortvan een beetje bedacht na een paar eigen berekeningen te doen.

Alvast bedankt.

Met vriendelijke groet,

Steven
8-12-2019

Antwoord

Beste Steven,

Wat je zelf bedacht had, klopt inderdaad niet. Je moet de definities goed bestuderen. Een aantal vectoren spannen $\mathbb{R}^n$ op als elke vector in $\mathbb{R}^n$ geschreven kan worden als een lineaire combinatie van dat aantal vectoren, die vectoren hoeven niet lineair onafhankelijk te zijn.

De drie vectoren (1,0), (0,1), (1,1) spannen $\mathbb{R}^2$ op, maar zijn niet lineair onafhankelijk. Eender welke twee van deze drie spannen óók $\mathbb{R}^2$ op en zijn wél lineair onafhankelijk, en vormen dus ook een basis. Neem je er maar één, dan heb je wel nog lineaire onafhankelijkheid, maar span je $\mathbb{R}^2$ niet meer op (en dus ook geen basis!).

mvg,
Tom

td
8-12-2019