WisFaq!

Berekenen van een opgave met faculteiten

Hallo,
Ik vroeg me af hoe je dit kunt berekenen.als ik het probeer kom ik namelijk een lange opgave uit en ik vroeg me af wat je dan moet doen aangezien je een grote macht krijgt van p? Of zou je dit op een andere manier gemakkelijker kunnen schrijven.

(x-p-9)! (p+9)! = (x-p+9)! (p-9)!

Alvast bedankt

Ines
7-12-2019

Antwoord

Ik zou het eerste eens voor een paar eenvoudige gevallen, met kleine waarden van $p$, $n$ en $r$, uitschrijven; dan zie je misschien hoe je te werk zou kunnen gaan.

Je kunt het algemene geval dan met inductie naar $r$ proberen bewijzen; de hele som uitschrijven en vereenvoudigen is nogal een werk.

Je kunt ook bekijken wat er links en rechte geteld wordt:

links: het aantal deelverzamelingen van $\{1,2,\ldots,r,r+1,\ldots,n+r\}$ met $p+r$ elementen.

rechts ook: daar worden die verzanmelingen in groepjes verdeeld: de term $C^i_r\cdot C^{p+i}_n$ telt alle deelverzamelingen met $p+r$ elementen waarvan er $p+i$ uit $\{r+1,\ldots,n\}$ komen en $r-i$ uit $\{1,\ldots,r\}$ (want $C^i_r=C^{r-i}_r$).

kphart
8-12-2019