WisFaq!

Kansrekening zonder binomiaalcoëfficiënt

Gegeven: 'Een standaard kaartspel bestaande uit 52 kaarten. Deze worden willekeurig geschud. Er zijn vier spelers en elk krijgt willekeurig 13 kaarten.'

Gevraagd: 'Wat is de kans dat een speler precies 4 Aas krijgt. Bereken dit zonder de binomiaalcoëfficiënt formule te gebruiken'.

Mijn antwoord: 'Definieer gebeurtenis E als 'een speler krijgt 4 aas', dit is een deelverzameling van de machtsverzameling van de uitkomstenruimte. De kardinaliteit van verzameling E is naar mijn inziens gelijk aan (4 · 13! · 39!). Immers, er vier spelers, een van hen zou 4 aas kunnen krijgen. Laten we nu aannemen dat dit speler₁ is. Speler₁ krijgt dus 13 kaarten, waaronder 4 aas. Het aantal permutaties van de hand van deze speler is dan (13!). De overige 39 kaarten worden verdeeld onder de andere spelers, hier zijn (39!) permutaties van. Het totaal aantal permutaties, de kardinaliteit van de uitkomstenruimte, is (52!). Mijn eindantwoord is dan: (4 · 13! · 39!) / (52!). Dit is naar mijn gevoel veel te laag en ik weet niet waar de denkfout hier zit. Kan er iemand naar kijken?

Hartelijk dank.

Kees-Jan

Kees-Jan
15-11-2019

Antwoord

Je hebt gelijk met de factor $4$ omdat niet vastgelegd wordt wie van de vier de vier azen krijgt.

De rest klopt niet omdat je nergens die vier azen daadwerkelijk gebruikt: je aangewezen speler krijgt gewoon $13$ willekeurige kaarten. Wat je hebt uitgerekend is de kans dat één specifieke hand van $13$ kaarten bij een speler terechtkomt.

Mag je helemaal geen binomiaalcoëfficiënt gebruiken of mogen die niet meer in het antwoord staan? Met behulp van die coëfficiënten is het allemaal wel een stuk eenvoudiger te doen: het aantal mogelijke handen is $\binom{52}{13}$ en het aantal goede handen is $\binom{48}{9}$: naast de azen nog $9$ kaarten uit de overige $48$ halen. Als je die op elkaar deelt krijg je als antwoord
$$
\frac{13\cdot12\cdot11\cdot10}{52\cdot51\cdot50\cdot49}
$$

kphart
26-11-2019