WisFaq!

Lim cyclometrische functie

1))lim x naar 0 van ( 1/Bgsin(2x)-1/x)
ik zet op gelijke noemers (x-Bgsin(2x))/(x.Bgsin(2x))
en doe de regel van l' Hopital

((√(1-4x²)-2).(√(1-x²))/((1-4x²)√(1-x²)Bgsin(2x))en heb weer 0/0?

2)) lim naar + oneindig (x-($\pi$/2-Bgtanx)
ik herleid naar lim ($\pi$/2-Bgtanx)/¹/_x om l'Hopital te kunnen uitvoeren en bekom 1, maar de uitkomst zou 2 moeten zijn?

Vanneste D
24-10-2019

Antwoord

1) je nieuwe breuk is fout. je krijgt in eerste instantie als teller $1-1/\sqrt{1-4x^2}$ en als noemer $\arcsin2x-2x/\sqrt{1-4x^2}$. Na vereenvoudiging (teller en noemer met $\sqrt{1-4x^2}$ vermenigvuldigen) zou je deze breuk moeten krijgen:
$$\frac{\sqrt{1-4x^2}-2}{\arcsin2x\cdot\sqrt{1-4x^2}-2x}
$$(en dat geeft niet het geval $0/0$). Overigens kun je in de eerste breuk teller en noemer door $x$ delen; je krijgt dan met bekende limieten te doen:
$$\lim_{x\to0}\frac{1-\frac{\arcsin2x}{x}}{\arcsin2x}
$$en ook hier niet geen $0/0$.
2) het antwoord zou inderdaad $1$ moeten zijn en dan kan ook eenvoudiger: $\frac\pi2\arctan x=\arctan\frac1x$. Je hebt dus
$$\lim_{x\to\infty}\frac{\arctan\frac1x}{\frac1x}
$$en door $u=\frac1x$ te nemen staat daar
$$\lim_{u\to0}\frac{\arctan u}{u}
$$

kphart
24-10-2019