WisFaq!

Imaginaire exponenten

Beste,

Na het artikel gelezen te hebben over i^i rees bij mij de vraag over hoe imaginaire exponenten gedefinieerd worden. Bij reëele getallen is dit zeer makkelijk voor te stellen, maar hoe zit dit bij imaginaire machten? En waarom gelden hier dezelfde rekenregels?

Bedankt!

Bert Goossens
21-3-2003

Antwoord

Bij imaginaire exponenten is het allemaal veel lastiger om voor te stellen wat de uitkomst zijn moet. Daarom is het vaak een kwestie van stug en vooral NETJES doorrekenen totdat je op een resultaat uitkomt.

Eigenlijk heb je bij imaginaire (of i.h.a: complexe) exponenten maar EEN echt houvast. En dat is dat
e^i.x=cosx + i.sinx, en (dus) ook dat
e^a+bi=e^a.e^ib=e^a(cosb + i.sinb)

Nu hebben we hier telkens als grondtal e genomen. Maar wat nou als het grondtal nou eens anders is?
Antwoord: dan moet je het probleem eerst vertalen naar een exponent met e als grondtal, en dan verder rekenen.

voorbeelden:
2⁵ⁱ=(e^ln2)⁵ⁱ
=e^5ln2.i=cos5ln2 + i.sin5ln2

1ⁱ=(e^ln1)ⁱ
= e^0.i=e⁰=1

(1+i)^2-i
een complex getal z geschreven in de vorm a+bi, kan ook geschreven worden in de vorm |z|.e^i.arg(z)
de modulus van 1+i, |1+i|=2, en het argument is /4
dus er staat
(2.exp(i. /4))^2-i
= 2.exp(i. /2 + /4)
= 2.exp( /4).exp(i. /2)
= 2.exp( /4).(cos /2 + i.sin /2)
= 2.exp( /4).(0 + i)
= i.2.exp( /4)

ik hoop dat het zo een beetje duidelijker is.

groeten,
martijn

mg
21-3-2003