WisFaq!

Oppervlakte figuur binnen een cirkel

In een cirkel met straal 5 zijn op regelmatige wijze koorden getekend. Er ontstaan op deze wijze het lijnstuk AF ( aan de zijkant van de cirkel, dat 6 cm is. Aan de onderkant van de cirkel ontstaat lijnstuk AB ( lengte is niet gegeven ). Aan de overzijde van AF ontstaat het lijnstuk BC ( dat ook 6 cm is. Vervolgens het ontstaat het lijnstuk CD, dat even groot is als AB ( en waarvan ook dus geen lengte bekend is. Aan de bovenzijde van de cirkel ontstaat vervolgens lijnstuk DE ( dat ook weer 6 cm is ) en als het laatste ontstaat het lijnstuk EF ( waarvan de lengte weer onbekend is, maar even groot is als AB en CD ). De vraag is om de oppervlakte te berekenen van ABCDEF

Ik heb dit als volgt gedaan:
De oppervlakten van driehoeken AFM, BCM en DEM kun je als volgt berekenen:
Trek een loodlijn vanuit M op het midden van AB, BC en DE. Er ontstaan dan de driehoeken FNM, AFM, BOM, COM, DPM en EPM
Met de stelling van Pythagoras kunnen de lengtes van MN, MO en MP worden berekend. Dus: MN² + FN² = FM². Dus MN² + 9 = 25.
Dus MN² = 16. Dus MN = 4. Dus de oppervlakte van driehoek AFM is: ( 0,5 · 4 · 3 ) · 2 = 12 cm². De totale oppervlakte van de driehoeken
AFM, BCM en DEM is dan: 3 · 12 cm² = 36 cm²
je kunt ook zeggen tan hoek M = 3/4 = 0,75. Dus shift tan 0,75 = 36,86989765. Dus 2 · 36,86989765 = 73,73979529. Dus voor de overige driehoeken blijft over: 360 graden - ( 73,73979529 · 3 ) = 138,7806141 graden. Per driehoek dus: 46,26020471 graden. Van bijvoorbeeld
driehoek EFM kun je dan weer 2 rechthoekige driehoeken maken, waarbij de driehoeken EQM en FQM ontstaan. Met behulp van de cosinus
kun je dan MQ berekenen. Deze is: cos hoek M = MQ / EM. Dus cos ( 46,26020471 / 2 ) = MQ / 5. Dus 0,919614488 = MQ / 5. Dus MQ is:
0,919614488 · 5 = 4,598072441. Nu kun je ook de lengte van EQ berekenen. Dus tan hoek M = EQ / MQ. Dus ( 46,26020471 / 2 ) = EQ /
4,598072441. Dus 0,427157255 = EQ / 4.598072441. Dus EQ = 4,598072441 · 0,427157255 = 1,964100005. De oppervlakte van de driehoek EFM is dan: 4,598072441 · 1,964100005 = 9,031074104. Dus de totale oppervlakte van de driehoeken EFM, CDM en ABM is dan: 9,031074104 · 3 = 27,09322231.
De oppervlakte van 6 driehoeken zonder bogen is dan: 27,09322231 cm² + 36 cm² = 63,09322231. De oppervlakte van de cirkel is: ñ · 25 Dat is: 78,53981634. Voor de bogen blijft dan over: 78,53981634 - 63,09322231 = 15,44659403. Echter de verhouding tussen de oppervlaktes
is: 27,09322231/36 = 0,752589508. Dus bij de oppervlakte komt nog: 0,247410491 · 15,44659403 = 3,821649419. De totale oppervlakte is dan:
63,09322231 + 3,821649419 = 66,9 cm²

Het antwoordenboekje geeft echter aan: 66,3 cm². Ergens doe ik iets niet goed, maar daar kom ik op eigen kracht niet achter

Joost Blokland
30-9-2019

Antwoord

Je kunt de lengten van $MQ$ en $QE$ ook exact uitrekenen. Noem de helft van hoek $\angle AMF$ even $\alpha$ noemt en de helft van de hoek $\angle EMF$ even $\beta$. Dan geldt $\cos\alpha=4/5$, $\sin\alpha=3/5$, $\cos\beta=MQ/5$ en $\sin\beta=EQ/5$. Omdat $\alpha+\beta=60^\circ$ kun je gonioformules gebruiken om vergelijkingen voor $MQ$ en $EQ$ op te stellen:
$$\frac45\cdot\frac{MQ}5-\frac35\cdot\frac{EQ}5 = \frac12
$$en
$$\frac35\cdot\frac{MQ}5+\frac45\cdot\frac{EQ}5 = \frac12\sqrt3
$$De oplossingen zijn $MQ=\frac12(4+3\sqrt3)$ en $EQ=\frac12(4\sqrt3-3)$.
De totale oppervlakte van de zeshoek wordt dan $\frac{12}4\sqrt3+54$ en dat is afgerond inderdaad ongeveer $63{,}09$; dat betekent dat je werk tot dat moment correct is.

Ik dacht dat dat het einde van de oplossing was; ik begrijp niet wat de bogen ermee te maken hebben, die worden in de opgave niet genoemd.

kphart
1-10-2019