WisFaq!

Re: Taylorbenadering van een e-macht

Ik begrijp niet zo goed waarom je graad 5 tot en met 12 weg mag laten. Ik snap dat deze termen er niet zijn als je rechtstreeks een benadering doet voor de gehele functie, maar waarom zijn ze er wel op de andere manier. Wat heeft het voor betekenis?

Frits
29-9-2019

Antwoord

Dat is een gevolg van de gevolgde methode en een kwestie van ervaring. Je krijgt de Taylorreeks van $e^{\sin x}$ rond $0$ door de reeks van $\sin x$ in die van $e^x$ in te vullen:
$$1+\sin x+\frac12\sin^2x+\frac16\sin^3x+\frac1{4!}\sin^4x+\cdots+\frac1{n!}\sin^nx+\cdots
$$op elke plek vul je dus $\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$ in. In principe moet je dan alle machten $\sin^nx$ uitvermenigvuldigen en vervolgens de coefficienten van de machten van $x$ bepalen door telkens alle termen met $x^n$ bij elkaar te nemen.
Maar als je even kijkt zie je dat $x$ alleen uit $\sin x$ kan komen; $x^2$ kan alleen uit $\sin x$ en $\sin^2x$ komen; evenzo voor $x^3$ en $x^4$.
En dan zie je ook dat je uit de reeks van $\sin x$ nooit meer dan $x$ en $x^3$ gebruikt om de machten $x$, $x^2$, $x^3$ en $x^4$ te maken. De termen tot en met $x^4$ vormen de volledige vierde-orde benadering; de hogere machten zijn alleen maar onvolledige stukjes van de hogere-orde benadering.

kphart
29-9-2019