WisFaq!

Re: Re: Bewijzen dat een verzameling subset is van de ander

Ik kom er nog steeds niet uit. Ik probeerde het te bewijzen aan de hand van contradictie, dus stel er geldt niet x $\ge$ 3. Dat betekent dat x $<$ 3 is. Oftewel x + (1/n) $<$ 3 + (1/n). Echter weten wij dat x $\ge$ 3 - (1/n) is voor alle n tegelijk. Oftewel x + (1/n) $\ge$ 3. Eerlijk gezegd vind ik dat ik onzin heb opgeschreven want hier kan ik niks mee, maar ik weet niet wat wel de juiste aanpak is. Ik wil dit ook graag kunnen bewijzen.

Steven
18-9-2019

Antwoord

Je moet niet met een enkele $n$ gaan zitten spelen; je moet gebruiken dat $x\ge 3-\frac1n$ voor alle.
Je kunt daar op twee manieren gebruik van maken: onderzoeken welke getallen tegelijkertijd groter dan of gelijk zijn aan $3-1$, en aan $3-\frac12$, en aan $3-\frac13$, en aan $3-\frac14$, ..., $3-\frac1{1000000}$, ...

Of uit het ongerijmde (of via contrapositie): stel $x<3$. Dan geldt dus $3-x>0$, maar dan volgt uit $\lim_{n\to\infty}\frac1n=0$ dat er een natuurlijk getal $k$ is met $\frac1k<3-x$. Voor die $k$ geldt dan $x<3-\frac1k$, in tegenspraak met het gegeven dat $x\ge3-\frac1n$ voor alle natuurlijke getallen $n$.

kphart
19-9-2019