WisFaq!

Bewijzen dat een verzameling subset is van de ander

Gegeven A_n = [3 - ¹/_n, 6]. Bewijs dat de intersectie van {A_n} met n een element uit de natuurlijke getallen ($\mathbf{N}$) (exclusief 0) een subset is van [3,6]. Dus met andere woorden: A₁ intersect A₂ intersect A₃ intersect .... intersect A_n = [3,6].

Ik weet niet hoe ik dit moet oplossen. Ik heb het geprobeerd om er eerst een logische formule van de maken in de vorm van: voor alle n uit $\mathbf{N}$ geldt dat als x een element is uit A_n, dan x is een element uit [3,6]. Ik kom niet veel verder want een direct bewijs geven lukt niet, evenmin een contrapositie bewijs. Ik heb ook een negatie voor deze formule gezet en probeerde tot een tegenspraak te komen maar dat werkte ook niet. Wat is hierbij de crux want ik zie het niet.

Steven
17-9-2019

Antwoord

Nee, je `met andere woorden' klopt niet en wel om twee redenen: (1) `subset' betekent niet noodzakelijk `equal', de $=$ moet $\subseteq$ zijn, en (2) er is geen grootste natuurlijk getal dus je linkerlid, $A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n$, is niet het goede.
De doorsnede waar het om gaat is
$$\bigcap_{n\in\mathbb{N}}A_n
$$dat is de verzameling van $x$-en die voldoen aan $(\forall n\in\mathbb{N})(x\in A_n)$.

Het bewijs gaat als volgt: neem $x\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}A_n$ willekeurig en bewijs dat $x\in[3,6]$.
Welnu, $x\in A_n$ betekent $3-\frac1n\le x\le 6$, dus voor onze $x$ geldt deze ongelijkheid voor alle $n$. Dus zeker $x\le 6$. En omdat $x\ge3-\frac1n$ voor alle $n$ volgt dan $x\ge 3$ (ga dat zelf na). Conclusie $3\le x\le6$, ofwel $x\in[3,6]$.

kphart
18-9-2019