WisFaq!

Het kgv van 3 of meer getallen

Hallo,
Mij is de betekenis van de ggd en het kgv duidelijk, echter alleen als het om 2 getallen gaat..

Stel we nemen 180 en 585, geeft de ontbinding in priemfactoren:
180=2²·3²·5
585=3²·5·13
Met ggd: 3²·5=9·5 = 45

Met de formule ggd(a,b) · kgv(a,b) = (a·b)
Geeft dit een kgv van (a·b)/(ggd(a,b)), uitgewerkt:
(2²·3²·5·3²·5·13)/(3²·5) =(2²·3²·5·13)=2340

Hieruit volgt dat het kgv de priemfactoren bevat die nodig zijn om het kleinst mogelijk veelvoud van het ene getal als dat van het andere getal te creeeren.

Maar nu met drie getallen, dan zou je toch zeggen dat de formule daarvoor is:
'ggd(a,b,c) · kgv(a,b,c) = abc'
Stel we nemen 3 getallen: (6,2,4)
ggd die is simpel: 2, het kgv is 12
Vul ik dat in de 'formule' in: 2·12=abc= 6·4·2 = 48. Dat klopt niet.
Aan de rechterkant is er op een of andere manier een factor 2 bijgekomen.

Nu heb ik al research gedaan maar ik begrijp het maar niet... In dit topic wordt precies mijn vraag gesteld, maar de uitleg die volgt is me niet duidelijk.

Zouden jullie dit voor me kunnen uitleggen? Ik ben dus opzoek naar een formule die hiervoor geldt en een rede waarom ggd(a,b,c) · kgv(a,b,c) = abc niet voldoet.

Uiteraard heb ik al tussen de vragen gezocht op dit forum, maar daar wordt geen afleiding gegeven.

Ik kijk er graag uit naar het antwoord! alvast bedankt!

Vriendelijke groet,
Stijn

Stijn
31-7-2019

Antwoord

Beste Stijn,

Dat $\mathrm{ggd}(a,b,c)\cdot\mathrm{kgv}(a,b,c) = abc$ niet klopt is met een voorbeeld meteen duidelijk, je geeft het zelf ook al aan. Het simpelste is het te zien als $a$, $b$ en $c$ gelijk zijn.

Dan heb je immers:
$\mathrm{ggd}(a,a,a)=a$
$\mathrm{kgv}(a,a,a)=a$
$\mathrm{ggd}(a,b,c)\cdot\mathrm{kgv}(a,b,c) = a^2 \neq a^3$

Je ziet daarmee dat het structureel niet kan kloppen met een tweede- en een derdemacht. Wat klopt er dan wel?

Een formule die wel klopt is $\mathrm{ggd}(a,b,c)\cdot\mathrm{kgv}(ab,bc,ac) = abc$.

Een bewijs daarvoor is als volgt: Stel dat $d$ een deler is van $a$, $b$ zowel als $c$. Uit het feit dat $d$ een deler is van $a$ volgt dat $dbc$ een deler is van $abc$. Net zo zijn $adc$ en $abd$ delers van $abc$. Dus is $\mathrm{kgv}(dbc, adc, abd)=d\cdot\mathrm{kgv}(ab,bc,ac)$ een deler van $abc$. Dus is $d$ een deler van $\frac{abc}{\mathrm{kgv}(ab,bc,ac)}$.

Omgekeerd, als $d$ een deler is van $\frac{abc}{\mathrm{kgv}(ab,bc,ac)}$, dan is $d\cdot\mathrm{kgv}(ab,bc,ac)=\mathrm{kgv}(dbc, adc, abd)$ een deler van $abc$. Dus zijn elk van $dbc$, $adc$ en $abd$ delers van $abc$. Als $dbc$ een deler van $abc$ is, dan moet $d$ een deler zijn van $a$. En evenzo moet $d$ deler zijn van $b$ en $c$.

We hebben dus: $d$ is een deler van $a$, $b$ én $c$ dan en slechts dan als $d$ is een deler van $\frac{abc}{\mathrm{kgv}(ab,bc,ac)}$.

Elke deler van $a$, $b$ én $c$ is dus een deler van $\frac{abc}{\mathrm{kgv}(ab,bc,ac)}$ en omgekeerd.

Dat betekent in het bijzonder dat de grootste deler van $a$, $b$ én $c$ en van $\frac{abc}{\mathrm{kgv}(ab,bc,ac)}$ dezelfde is. En omdat $\frac{abc}{\mathrm{kgv}(ab,bc,ac)}$ één getal is, is die grootste deler het getal zelf. Dus $\mathrm{ggd}(a,b,c)$ moet gelijk zijn aan $\frac{abc}{\mathrm{kgv}(ab,bc,ac)}$.

En daaruit kunnen we $\mathrm{ggd}(a,b,c)\cdot\mathrm{kgv}(ab,bc,ac)=abc$ tenslotte afleiden.

---

Maar de volgende variant klopt ook: $\mathrm{ggd}(ab,bc,ac)\cdot\mathrm{kgv}(a,b,c)=abc$.

De redenering is niet heel erg anders. Stel dat $v$ een veelvoud is van $a$, $b$ en $c$. Dan zijn $vbc$, $avc$ en $abv$ veelvouden van $abc$. Dus dan is $\mathrm{ggd}(vbc, avc, abv) = v\cdot\mathrm{ggd}(ab,bc,ac)$ een veelvoud van $abc$. Dus dan is $v$ een veelvoud van $\frac{abc}{\mathrm{ggd}(ab,bc,ac)}$.

Andersom geldt de redenering ook (ik laat de details aan jou over).

We hebben dus:$v$ een veelvoud is van $a$, $b$ en $c$ dan en slechts dan als $v$ een veelvould van $\frac{abc}{\mathrm{ggd}(ab,bc,ac)}$.

Dus elk veelvoud van $a$, $b$ en $c$ is een veelvoud van $\frac{abc}{\mathrm{ggd}(ab,bc,ac)}$ en andersom. De kleinste deler is dus kleinste van allebei. Omdat $\frac{abc}{\mathrm{ggd}(ab,bc,ac)}$ één getal is, is dat kleinste veelvoud het getal zelf.

Dus $\mathrm{kgv}(a,b,c) = \frac{abc}{\mathrm{ggd}(ab,bc,ac)}$.

En we leiden af dat $\mathrm{ggd}(ab,bc,ac)\cdot\mathrm{kgv}(a,b,c)=abc$.

Hopelijk heb je hier voldoende antwoord aan, Stijn! Anders laat je het maar even weten.

Met vriendelijke groet,

FvL
4-8-2019