WisFaq!

Re: Eerste afgeleide

Goedemorgen en week,

Door mijn nonchalante notatie van de functie en de later erin geplaatste haakjes is een en het ander helaas verkeerd gegaan. In f(x) wordt de logaritme genomen van een breuk waar x in de teller zowel als in de noemer voorkomt, dus:

f(x)= ln[x / 1-x²].

Met belangstelling zie ik wederom de ontwikkeling van de eerste afgeleide ervan tegemoet.

Adriaan
1-7-2019

Antwoord

We doen nog een poging:

$
\eqalign{
& f(x) = \ln \left( {\frac{x}
{{1 - x^2 }}} \right) \cr
& f'(x) = \frac{1}
{{\frac{x}
{{1 - x^2 }}}} \cdot \left( {\frac{{1 \cdot \left( {1 - x^2 } \right) - x \cdot - 2x}}
{{\left( {1 - x^2 } \right)^2 }}} \right) \cr
& f'(x) = \frac{{1 - x^2 }}
{x} \cdot \left( {\frac{{1 - x^2 + 2x^2 }}
{{\left( {1 - x^2 } \right)^2 }}} \right) \cr
& f'(x) = \frac{{1 - x^2 }}
{x} \cdot \left( {\frac{{1 + x^2 }}
{{\left( {1 - x^2 } \right)^2 }}} \right) \cr
& f'(x) = \frac{{1 + x^2 }}
{{x\left( {1 - x^2 } \right)}} \cr}
$

Je moet maar 's zien. Handig...

Naschrift

Maar soms is het handig om de functie anders te schrijven:

$
\eqalign{
& f(x) = \ln \left( {\frac{x}
{{1 - x^2 }}} \right) \cr
& f(x) = \ln (x) - \ln \left( {1 - x^2 } \right) \cr
& f'(x) = \frac{1}
{x} - \frac{1}
{{1 - x^2 }} \cdot - 2x \cr
& f'(x) = \frac{1}
{x} + \frac{{2x}}
{{1 - x^2 }} \cr
& f'(x) = \frac{{1 - x^2 }}
{{x\left( {1 - x^2 } \right)}} + \frac{{2x^2 }}
{{x\left( {1 - x^2 } \right)}} \cr
& f'(x) = \frac{{1 - x^2 + 2x^2 }}
{{x\left( {1 - x^2 } \right)}} \cr
& f'(x) = \frac{{1 + x^2 }}
{{x\left( {1 - x^2 } \right)}} \cr}
$

Is dat handig?

PS
Er missen in je vraag nog steeds een paar haakjes...

Naschrift
Als je afziet van het onder-één-noemer zetten zou dit ook nog aardig zijn:

$
\eqalign{
& f(x) = \ln \left( {\frac{x}
{{1 - x^2 }}} \right) \cr
& f(x) = \ln \left( x \right) - \ln \left( {1 - x^2 } \right) \cr
& f(x) = \ln (x) - \ln ((1 - x)(1 + x)) \cr
& f(x) = \ln (x) - \left( {\ln (1 - x) + \ln (1 + x)} \right) \cr
& f(x) = \ln (x) - \ln (1 - x) - \ln (1 + x) \cr
& f'(x) = \frac{1}
{x} + \frac{1}
{{1 - x}} - \frac{1}
{{1 + x}} \cr}
$

WvR
1-7-2019