WisFaq!

Elektriciteitsverbruik

Men voorziet dat het elektriciteitsverbruik van een land op exponentiële wijze toeneemt met zo'n tempo dat het binnen 10 jaar zal verdubbeld zijn.

We kunnen het verbruik (op jaarbasis) als functie van de tijd (gemeten in jaren dus beschrijven met een functie:

V(t) = v₀·e^kt, met v₀ het huidige verbruik op jaarbasis.

1. Wat is de waarde van k?
2. Bereken het totale elektriciteitsverbruik in de eerstvolgende 20 jaar.
3. Wat is het gemiddelde verbruik op jaarbasis over diezelfde periode?
4. Wanneer zal het verbruik gelijk zijn aan dat gemiddelde?

Eleina
21-6-2019

Antwoord

$
\eqalign{
& a. \cr
& V(t) = v_0 \cdot e^{kt} \cr
& e^{k \cdot 10} = 2 \cr
& 10k = \ln (2) \cr
& k = \frac{{\ln (2)}}
{{10}} \cr}
$

---

$
\eqalign{
& b. \cr
& V_{totaal} = V(1) + V(2) + ... + V(20) \cr
& \sum\limits_{n = 1}^{20} {v_0 } \cdot e^{\frac{{\ln (2)}}
{{10}}t} = \sum\limits_{n = 1}^{20} {v_0 } \cdot \left( {\root {10} \of 2 } \right)^t \cr
& S_n = \frac{{V(21) - V(1)}}
{{\root {10} \of 2 - 1}} \cr
& S_n = \frac{{4\root {10} \of 2 \cdot v_0 - \root {10} \of 2 \cdot v_0 }}
{{\root {10} \of 2 - 1}} \cr
& S_n = \frac{{3\root {10} \of 2 \cdot v_0 }}
{{\root {10} \of 2 - 1}} \cr}
$

---

$
\eqalign{
& c. \cr
& V_{gemiddeld} = \frac{{S_{20} }}
{{20}} = \frac{{3\root {10} \of 2 \cdot v_0 }}
{{20(\root {10} \of 2 - 1)}} \cr}
$

---

$
\eqalign{
& d. \cr
& v_0 \cdot \left( {\root {10} \of 2 } \right)^t = \frac{{3\root {10} \of 2 \cdot v_0 }}
{{20(\root {10} \of 2 - 1)}} \cr
& \left( {\root {10} \of 2 } \right)^t = \frac{{3\root {10} \of 2 }}
{{20(\root {10} \of 2 - 1)}} \cr
& \ln \left( {\left( {\root {10} \of 2 } \right)^t } \right) = \ln \left( {\frac{{3\root {10} \of 2 }}
{{20(\root {10} \of 2 - 1)}}} \right) \cr
& t \cdot \ln \left( {\root {10} \of 2 } \right) = \ln \left( {\frac{{3\root {10} \of 2 }}
{{20(\root {10} \of 2 - 1)}}} \right) \cr
& t \cdot \frac{{\ln (2)}}
{{10}} = \ln \left( {\frac{{3\root {10} \of 2 }}
{{20(\root {10} \of 2 - 1)}}} \right) \cr
& t = \frac{{10 \cdot \ln \left( {\frac{{3\root {10} \of 2 }}
{{20(\root {10} \of 2 - 1)}}} \right)}}
{{\ln (2)}} \approx {\text{11}}{\text{,63}} \cr}
$

WvR
21-6-2019