WisFaq!

Stelsel van differentiaalvergelijkingen

Goede middag .
Ik tracht een stelsel van differentiaalvergelijkingen op te lossen met de D- operator. Ik geraak ergens verwikkeld in mijn rekenwerk en heb het volgende al uitgewerkt

Opgave:
(D-1)y-(D-2)x-e^t=0 (1)
(D+3)x-2y=0 (2)

Elimineren van y:
2(1)-(D-1)(2)=
( waarbij (1) en (2) de vergelijkingen voorstellen (zie opgave))
2((D-1)y-(D-2)x-e^t))-(D-1)((D+3)x-2y))=
2(D-1)y-2(D-2)x-(D-1)(D+3)x)+2(D-1)y =2e^t
Nu zou ik moeten verwachten dat y aan elimineren toe is maar dan zou de laatste term een minteken moeten hebben .
Hoe moet het verder?

Oplossing:
y=1/2((3C(1)-C(2))sint+1/2((C(1)+3C(2))cost
x=C(1)sint+C(2)cost+e^t.

Ik maak waarschijnlijk bij het herzien steeds dezelfde fout.
Graag een hint hoe ik dit stelsel verder zou kunnen oplossen en attentie voor de gezmaakte fout die ik maar niet kan vinden.....
Groetjes

Rik Lemmens
17-6-2019

Antwoord

Dag Rik,

Merk op dat de coëfficiënt van y in de tweede vergelijking -2 is, dus met minteken. Combineer dus niet 2(1)-(D-1)(2) maar 2(1)+(D-1)(2) en dan worden de termen in y tegengesteld, en vallen ze weg:
$$\color{blue}{2(D-1)y}-2(D-2)x+(D-1)(D+3)x\color{red}{-2(D-1)y}=2e^t$$en na vereenvoudigen:
$$(D^2+1)x=2e^t$$waaruit snel $x=c_1\sin t+c_2\cos t+e^t$ volgt.

mvg,
Tom

td
18-6-2019