WisFaq!

Epsilon definitie limiet van een rij

Beste

Ik begrijp niet echt goed hoe je met de epsilon definitie van de limiet van een rij de limiet van een rij kunt bewijzen. Als we eens de rij n/n+1 nemen, dan moet ik bewijzen dat de lim in oneidig 1 is. Wel ik heb gevonden dat n$>$ 1/epsilon-1. Maar ik weet niet echt goed hoe je het bewijs juist moet opschrijven. Kunt u me aub hiermee helpen?

Met vriendelijke groeten
Rafik

Rafik
9-6-2019

Antwoord

Wat je moet bewijzen is: voor elke $\epsilon > 0$ is er een $n_0\in\mathbb{N}$ zó dat voor alle $n\ge n_0$ geldt $|\frac{n}{n+1}-1| < \epsilon$.

Dat doe door te beginnen met:

Zij $\epsilon > 0$. (Dat is de openingszin; je gaat iets doen voor een willekeurige positieve $\epsilon$.)
Vervolgens bepaal je bij die $\epsilon$ een passende $n_0$.
Hoe je dat doet verschilt van rij tot rij en is bij de ene rij moeilijker dan bij de andere.

Hier zou ik beginnen met naar $|\frac{n}{n+1}-1|$ te kijken en zien of ik dat kan vereenvoudigen; dat kan: $|\frac{n}{n+1}-1|=|-\frac1{n+1}|=\frac1{n+1}$. Ik moet dus $n_0$ zo bepalen dat $\frac1{n+1} < \epsilon$ voor $n\ge n_0$. Dat is hier niet zo ingewikkeld want, ten eerste: als $n\ge n_0$ dan $\frac1{n+1}\le\frac1{n_0+1}$, dus we hoeven alleen te zorgen dat $\frac1{n_0+1} < \epsilon$. Ten tweede: de ongelijkheid $\frac1{n_0+1} < \epsilon$ is eenvoudig op te lossen: we moeten $n_0+1 > \frac1\epsilon$ hebben, ofwel $n_0 > \frac1\epsilon-1$. Laat dus $n_0$ het eerste natuurlijke getal zijn met $n_0 > \frac1\epsilon-1$.

Nu nog even netjes samenvatten: we hebben $n_0 > \frac1\epsilon-1$, dus voor $n\ge n_0$ geldt
$$
\left|\frac{n}{n+1}-1\right|=\frac1{n+1}\le\frac1{n_0+1} < \epsilon
$$Omdat $\epsilon$ willekeurig was mogen we nu concluderen dat
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1
$$

kphart
10-6-2019