WisFaq!

Inclusie en exclusie

Hoi,

Ik moet bij het oplossen van deze opgave inclusie en exclusie gebruiken, maar ik weet niet hoe ik met deze opgave moet starten.
Er wordt een cadeau gekocht voor een verjaardag. Dit cadeau kost 20 euro. Drie personen verdelen de kosten van dit cadeau. Persoon 1 betaalt maximaal 11 euro. Persoon 2 betaalt maximaal 8 euro en persoon 3 betaalt maximaal 5 euro. Op hoeveel manieren kan het bedrag van 20 euro worden verdeeld over de drie personen als de bedragen in hele euro's gegeven moet worden?

Het oplossen van deze opgave zonder inclusie en exclusie lukt wel, maar ik hoop dat ik op weggeholpen kan worden hoe ik dit met inclusie en exclusie moet aanpakken.

Elize
31-5-2019

Antwoord

Een van de dingen die je kunt doen doen is het aantal ongeldige verdelingen tellen, dat komt neer op het tellen van de oplossinen van $x+y+z=20$ waarbij $x > 11$, of $y > 8$, of $z > 5$.
Definieer $A_1$ als de verzameling oplossingen met $x > 11$, en $A_2$ als die met $y > 8$, en $A_3$ die met $z > 5$.
Bepaal nu met inclusie-exclusie het aantal elementen van
$$
A_1\cup A_2\cup A_3
$$
en trek dit af van het totaal aantal oplossingen van $x+y+z=20$.

kphart
31-5-2019