WisFaq!

Re: Formule voor de som van de delers

Hoe zou je dit met volledige inductie kunnen bewijzen?
$\sigma$(x) = [p₁^q₁+1-1]/[p₁-1]...[p_n^q_n+1-1]/[p_n-1]

Cor
21-5-2019

Antwoord

Door aan te nemen dat de gelijkheid geldt voor alle $y $<$ x$ en vervolgens naar $\sigma(x)$ te kijken.

Geval 1: $x$ is een macht van een priemgetal is, zeg $x=p^k$ dan is het eenvoudig alle delers op te schrijven en op te tellen (dus je gebruikt de inductieaaname niet).

Geval 2: $x$ is niet een macht van een priemgetal. Neem een priemdeler, $p$, van $x$ en schrijf $x=y\cdot p^k$ ($p^k$ de hoogste macht van $p$ die $x$ deelt). Gebruik het gegeven voor $y$ en de formule $\sigma(x)=\sigma(y)\cdot\sigma(p^k)$.

kphart
24-5-2019