WisFaq!

Oneigenlijke integralen

Beste
Kunt u me helpen bij deze vraag?
Onderzoek voor welke k volgende oneigenlijke integraal convergent is en voor welke k divergent. Maak een schets! k∈IR
Het integraal van( 1 gedeeld door x tot de macht k) van nul naar één.
Ik heb de integraal van f van p naar èèn berekend dan kom ik: (1 min p tot de macht 1-k )gedeeld door (1-k)
dan heb ik de limiet daarvan berekend wanneer
k$>$1, k=2 is de integraal convergent en gelijk aan 0,5
K$<$1, k=-1 is de integraal divergent.

Klopt wat ik heb gedaan?

Alvast bedankt
Met vriendelijke groeten
Eleina

Eleina
13-5-2019

Antwoord

Je begin is goed, je krijgt inderdaad
$$\int_p^1 x^{-k}\,\mathrm{d}x = \frac1{-k+1}(1-p^{-k+1})
$$mits $k\neq 1$ (zie je waarom?).
Als $k=1$ krijg je
$$\int_p^1\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln1-\ln p
$$Je conclusie is niet goed: als $k > 1$ convergeert de integraal juist niet; omdat $-k+1 < 0$ geldt dat
$$\lim_{p\to0}\frac1{-k+1}(1-p^{-k+1}) = \infty
$$Als $k < 1$ komt er
$$\lim_{p\to0}\frac1{-k+1}(1-p^{-k+1}) = \frac1{1-k}
$$Nu nog voor $k=1$ de limiet bepalen.

kphart
13-5-2019