WisFaq!

Hoogtelijn bewijs

Voor een viervlak ABCD geldt: AB ⊥ AC, AC ⊥ AD, AD ⊥ AB.
Men noemt H het voetpunt van de loodlijn uit A op het vl(BCD).

• Bewijs dat H het hoogtepunt van driehoek BCD is.

Kan mij hierbij iemand helpen alstublieft?

Ruzan
12-5-2019

Antwoord

Beste Ruzan,

Bekijk driehoek $BCD$.

Alle punten $P$ zodat $BP \perp CP$ liggen volgens de Stelling van Thales op de cirkel met diameter $BC$ in het vlak van $BCP$. Dus meer algemeen vinden we die punten $P$ op de bol $B_1$ met diameter $BC$.

Alle punten $Q$ zoddat $BQ \perp DQ$ liggen evenzo op de bol $B_2$ met diameter $BD$.

$B_1$ en $B_2$ snijden elkaar in een cirkel $C_1$. Uiteraard ligt $B$ op $C_1$. Dat geldt ook voor het punt $E$ op $CD$ zodat $BE \perp CD$ - dus zodat $BE$ een hoogtelijn van driehoek $BCD$ is. Merk tenslotte op dat ook $A$ op $C_1$ moet liggen, evenals het spiegelbeeld $A'$ van $A$ in het vlak $BCD$. We zien dat $AA'$ loodrecht staat op vlak $BCD$. Omdat die vier genoemde punten op $C_1$ alle in het vlak liggen van de snijcirkel, betekent dat dat $AA'$ en $BE$ elkaar snijden. Dit snijpunt is $H$!

Nu kun jij het denk ik wel afmaken.

Met vriendelijke groet,

FvL
15-5-2019