WisFaq!

Bewijs loodlijn

Staan twee vlakken loodrecht op elkaar en trekt men door een punt van het ene vlak de loodlijn op de snijlijn van beide vlakken, dan staat die loodlijn loodrecht op het andere vlak.

• Bewijs

Kan iemand mij helpen alstublieft?

Ruzan
12-5-2019

Antwoord

Beste Ruzan,

Er zijn verschillende definities die men kan gebruiken. Ik gebruik de volgende:

1. Een lijn $\ell$ staat loodrecht op een vlak $V$ als hij loodrecht staat op twee elkaar snijdende lijnen die in $V$ liggen.

2. Gegeven vlakken $V_1$ en $V_2$ met snijlijn $s$. Neem een punt $P$ op $s$ en trek door $P$ de lijnen $\ell_1 \perp s$ in $V_1$ en $\ell_2 \perp s$ in $V_2$. Dan is de hoek tussen $V_1$ en $V_2$ gelijk aan de hoek tussen $\ell_1$ en $\ell_2$ (de "standhoek").

Kijken we nu naar jouw stelling: als twee vlakken $V_1$ en $V_2$ met snijlijn $s$ loodrecht op elkaar staan, en je trekt door een punt $P$ van $V_1$ een loodlijn $\ell_1$ op de snijlijn $s$, dan weet je dus dat $\ell_1 \perp s$. Laat $Q$ het snijpunt zijn van $\ell_1$ en $s$. Dan weet je ook dat de lijn $\ell_2\perp s$ door $Q$ in $V_2$ loodrecht staat op $\ell_1$. Immers, $\ell_1$ en $\ell_2$ vormen de standhoek. Dus zowel $s$ als $\ell_2$, beide gelegen in $V_2$, staan loodrecht op $\ell_1$. Dat betekent dat $\ell_1$ loodrecht staat op $V_2$ volgens defninitie 1.

Maar soms gebruikt men andere definities. Kloppen deze met die jullie leren?

Met vriendelijke groet,

FvL
17-5-2019